勞侖次吸引子

勞侖次吸引子（Lorenz attractor）是勞侖次振子（Lorenz oscillator）的長期行為對應的碎形結構，以愛德華·諾頓·勞侖次（Edward Norton Lorenz）的姓氏命名。勞侖次振子是能產生混沌流的三維動力系統，又稱作勞侖次系統（Lorenz system），其一組混沌解稱作勞侖次吸引子，以其雙紐線形狀而著稱。映射展示出動力系統（三維系統的三個變量）的狀態是如何以一種複雜且不重複的模式，隨時間的推移而演變的。

勞侖次系統中的吸引子軌跡

簡述

勞侖次方程式的一條軌跡被描繪成金屬線，以展現方向以及三維結構

勞侖次吸引子及其導出的方程組是由愛德華·諾頓·勞侖次於1963年發表，最初是發表在《大氣科學雜誌》（Journal of the Atmospheric Sciences）雜誌的論文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的，是由大氣方程式中出現的對流卷方程式簡化得到的。

這一勞侖次模型不只對非線性數學有重要性，對於氣候和天氣預報來說也有著重要的含義。行星和恆星大氣可能會表現出多種不同的準周期狀態，這些準周期狀態雖然是完全確定的，但卻容易發生突變，看起來似乎是隨機變化的，而模型對此現象有明確的表述。

從技術角度看來，勞侖次振子具有非線性、三維性和確定性。2001年，沃里克·塔克爾（Warwick Tucker）證明出在一組確定的參數下，系統會表現出混沌行為，顯示出人們今天所知的奇異吸引子。這樣的奇異吸引子是豪斯多夫維數在2與3之間的碎形。彼得·格拉斯伯格（Peter Grassberger）已於1983年估算出豪斯多夫維數為2.06 ± 0.01，而關聯維數（英語：correlation dimension）為2.05 ± 0.01。

此系統也會出現在單模雷射^[1]和發電機^[2]的簡化模型中。除此之外，閉環對流、水輪轉動等物理模型也有此系統的應用。

勞侖次方程式

標出刻度的軌跡

勞侖次方程式是基於納維－斯托克斯方程式、連續性方程式和熱傳導方程式簡化得出，最初的形式為：

{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\nabla \right){\vec {v}}=-{\frac {\nabla p}{\rho }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}+{\vec {g}}

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho {\vec {v}}\right)=0

{\frac {\partial T}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(T{\vec {v}}\right)=\chi \nabla ^{2}T

\rho =\rho _{0}\left(1-\gamma \left(T-T_{0}\right)\right)

${\vec {v}}$ 是流速， $T$ 是流體溫度， $T_{0}$ 是上限溫度（也可以寫成 $T_{0}+\Delta T$ ）， $\rho$ 是密度， $p$ 是壓力， ${\vec {g}}$ 是重力， $\gamma$ 、 $\chi$ 、 $\nu$ 依次是熱膨脹係數、熱擴散率和動黏滯係數。

簡化後的形式稱為勞侖次方程式，是決定勞侖次振子狀態的方程式為一組常微分方程式：

{\frac {dx}{dt}}=\sigma (y-x)

{\frac {dy}{dt}}=x(\rho -z)-y

{\frac {dz}{dt}}=xy-\beta z

含時間參數的形式：

{\begin{cases}{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=\sigma {\bigl (}y(t)-x(t){\bigr )}\\{\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}=\rho \,x(t)-y(t)-x(t)\,z(t)\\{\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}=x(t)\,y(t)-\beta \,z(t)\end{cases}}

$\sigma$ 稱為普蘭特爾數 ， $\rho$ 稱為瑞立數。所有的 $\sigma$ ， $\rho$ ， $\beta$ > 0，但通常 $\sigma$ = 10， $\beta$ = 8/3， $\rho$ 不定。若 $\rho <1$ ，則吸引子為原點，沒有任何其他穩定點。1≤ρ<13.927時，螺線軌跡接近兩點（這相當於存在阻尼振子），兩點的位置由下列式子決定： $~x=\pm {\sqrt {b(\rho -1)}}$ 、 $~y=\pm {\sqrt {b(\rho -1)}}$ 、 $~z=\rho -1$ 。系統在 $\rho$ = 28時表現出混沌特性，但 $\rho$ 為其他值時會顯示出具紐結的週期軌道。例如，當 $\rho =99.96$ 時，圖像變為一個T(3,2)環面紐結。

初始條件的敏感依賴性

時間t=1 （放大） 時間t=2 （放大） 時間t=3 （放大）

這三幅圖是在ρ=28，σ = 10，β = 8/3的條件下生成的，展示出勞侖次吸引子中的兩條軌跡（藍色、黃色各一）的三維演變的三個時段，這兩條軌跡的初始點只在x坐標上相差10^-5。開始時，兩條軌跡似乎是重合的（藍色軌跡被黃色遮蓋，因此只能看到黃色軌跡），但一段時間後，分離就變得明顯了。

勞侖次吸引子的Java動畫展示了振子狀態連續不斷的演變 Portuguese Web Archive的存檔，存檔日期2008-03-11

瑞立數

不同ρ值時的勞侖次吸引子

ρ=14, σ=10, β=8/3 （放大） ρ=13, σ=10, β=8/3 （放大）

ρ=15, σ=10, β=8/3 （放大） ρ=28, σ=10, β=8/3 （放大）

ρ值較小時，系統是穩定的，並能演變為兩個定點吸引子中的一個；當ρ大於24.74時，定點變成了排斥子，會以非常複雜的方式排斥軌跡，演變時自身從不交叉。

顯示不同ρ值時振子狀態演變的Java動畫 Portuguese Web Archive的存檔，存檔日期2008-03-11

原始碼

GNU Octave

下面是GNU Octave模擬勞侖次吸引子的原始碼：

## Lorenz Attractor equations solved by ODE Solve
## x' = sigma*(y-x)
## y' = x*(rho - z) - y
## z' = x*y - beta*z
function dx = lorenzatt(X)
    rho = 28; sigma = 10; beta = 8/3;
    dx = zeros(3,1);
    dx(1) = sigma*(X(2) - X(1));
    dx(2) = X(1)*(rho - X(3)) - X(2);
    dx(3) = X(1)*X(2) - beta*X(3);
    return
end

## Using LSODE to solve the ODE system.
clear all
close all
lsode_options("absolute tolerance",1e-3)
lsode_options("relative tolerance",1e-4)
t = linspace(0,25,1e3); X0 = [0,1,1.05];
[X,T,MSG]=lsode(@lorenzatt,X0,t);
T
MSG
plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3))
view(45,45)

Borland C

#include <graphics.h>
#include <conio.h>
void main()
{
    double x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;
    double dt = 0.0001;
    int a = 5, b = 15, c = 1;
    int gd=DETECT, gm;
    initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");
    do {
	x1 = x + a*(-x+y)*dt;
	y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
	z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
	x = x1;	y = y1;	z = z1;
	putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
		 (int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
    } while (!kbhit());
    closegraph();
}

Borland Pascal

Program Lorenz;
Uses CRT, Graph;
Const
  x: Real = 3.051522;
  y: Real = 1.582542;
  z: Real = 15.62388;
  dt = 0.0001;
  a = 5;
  b = 15;
  c = 1;
Var
  gd, gm: Integer;
  x1, y1, z1: Real;
Begin
  gd:=Detect;
  InitGraph(gd, gm, 'c:\bp\bgi');
  While not KeyPressed Do Begin
      x1 := x + a*(-x+y)*dt;
      y1 := y + (b*x-y-z*x)*dt;
      z1 := z + (-c*z+x*y)*dt;
      x := x1;
      y := y1;
      z := z1;
      PutPixel(Round(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
               Round(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
    End;
    CloseGraph;
    ReadKey;
End.

Fortran

program LorenzSystem

real,parameter::sigma=10
real,parameter::r=28
real,parameter::b=2.666666
real,parameter::dt=.01
integer,parameter::n=1000

real x,y,z

open(1,file='result.txt',form='formatted',status='replace',action='write')

x=10.;y=10.;z=10.

do i=1,n,1
    x1=x+sigma*(y-x)*dt
    y1=y+(r*x-x*z-y)*dt
    z1=z+(x*y-b*z)*dt
    x=x1
    y=y1
    z=z1
    write(1,*)x,y,z
enddo

print *,'Done'

 close(1)

end program LorenzSystem

QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")

DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 AS SINGLE
DIM a, b, c AS INTEGER
x = 3.051522: y = 1.582542: z = 15.62388: dt = 0.0001
a = 5: b = 15: c = 1
SCREEN 12
PRINT "Press Esc to quit"
WHILE INKEY$ <> CHR$(27)
    x1 = x + a * (-x + y) * dt
    y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt
    z1 = z + (-c * z + x * y) * dt
    x = x1
    y = y1
    z = z1
    PSET ((19.3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9
WEND
END

參見

參考文獻

^ （英文）Haken, H. Analogy between higher instabilities in fluids and lasers. Physics Letters A. 1975, 53 (1): 77–78. doi:10.1016/0375-9601(75)90353-9.
^ （英文）Knobloch, Edgar. Chaos in the segmented disc dynamo. Physics Letters A. 1981, 82 (9): 439–440. doi:10.1016/0375-9601(81)90274-7.

（英文）Jonas Bergman, Knots in the Lorentz Equation^{[永久失效連結]}, 學士畢業論文, Uppsala University 2004.
（英文）Frøyland, J., Alfsen, K. H. Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model. Phys. Rev. A. 1984, 29: 2928–2931. doi:10.1103/PhysRevA.29.2928.
（英文）P. Grassberger and I. Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D. 1983, 9: 189–208 [2022-01-08]. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. （原始內容存檔於2016-02-17）.
（英文）Lorenz, E. N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 1963, 20: 130–141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
（英文）Strogatz, Steven H. Nonlinear Systems and Chaos. Perseus publishing. 1994.
（英文）Tucker, W. A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem. Found. Comp. Math. 2002, 2: 53–117 [2010-02-26]. （原始內容存檔於2019-12-28）.

外部連結

（英文）埃里克·韋斯坦因. 洛伦茨吸引子. MathWorld.
（英文）勞侖次吸引子（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），作者為Wolfram Demonstrations Project的Rob Morris
（英文）勞侖次吸引子，planetmath.org
（英文）用於繪出勞侖次吸引子或處理類似情況的原始碼（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），使用ANSI C及gnuplot實現
（英文）《同步混沌與私人通信》，由MIT林肯實驗室的Steven Strogatz與Kevin Cuomo講解電子電路中勞侖次吸引子的實現
（英文）勞侖次吸引子交互式動畫（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（需Adobe Shockwave插件）
（英文）Levitated.net：計算藝術與設計（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
（英文）3D Attractors：三維方式顯示和研究勞侖次吸引子Mac程序
（英文）3D VRML Lorenz attractor（需VRML瀏覽器插件）
（英文）J語言實現勞侖次吸引子演示的短文（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - 見J語言
（英文）非線性模擬的Java小程序（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（選擇預設「Lorenz attractor」），作者Viktor Bachraty，編寫語言Jython
（英文）模擬電子技術中勞侖次吸引子的實現
（簡體中文）混沌蝴蝶——勞侖茲吸引子（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[1] （英文）Haken, H. Analogy between higher instabilities in fluids and lasers. Physics Letters A. 1975, 53 (1): 77–78. doi:10.1016/0375-9601(75)90353-9.

[2] （英文）Knobloch, Edgar. Chaos in the segmented disc dynamo. Physics Letters A. 1981, 82 (9): 439–440. doi:10.1016/0375-9601(81)90274-7.

[1]

[2]

初始條件的敏感依賴性
時間t=1 （放大）	時間t=2 （放大）	時間t=3 （放大）

這三幅圖是在ρ=28，σ = 10，β = 8/3的條件下生成的，展示出勞侖次吸引子中的兩條軌跡（藍色、黃色各一）的三維演變的三個時段，這兩條軌跡的初始點只在x坐標上相差10^-5。開始時，兩條軌跡似乎是重合的（藍色軌跡被黃色遮蓋，因此只能看到黃色軌跡），但一段時間後，分離就變得明顯了。
勞侖次吸引子的Java動畫展示了振子狀態連續不斷的演變 Portuguese Web Archive的存檔，存檔日期2008-03-11

不同ρ值時的勞侖次吸引子

ρ=14, σ=10, β=8/3 （放大）	ρ=13, σ=10, β=8/3 （放大）

ρ=15, σ=10, β=8/3 （放大）	ρ=28, σ=10, β=8/3 （放大）
ρ值較小時，系統是穩定的，並能演變為兩個定點吸引子中的一個；當ρ大於24.74時，定點變成了排斥子，會以非常複雜的方式排斥軌跡，演變時自身從不交叉。
顯示不同ρ值時振子狀態演變的Java動畫 Portuguese Web Archive的存檔，存檔日期2008-03-11