勞侖次吸引子

勞侖次吸引子(Lorenz attractor)是勞侖次振子(Lorenz oscillator)的長期行為對應的碎形結構,以愛德華·諾頓·勞侖次(Edward Norton Lorenz)的姓氏命名。勞侖次振子是能產生混沌流的三維動力系統,又稱作勞侖次系統(Lorenz system),其一組混沌解稱作勞侖次吸引子,以其雙紐線形狀而著稱。映射展示出動力系統(三維系統的三個變量)的狀態是如何以一種複雜且不重複的模式,隨時間的推移而演變的。

ρ=28、σ = 10、β = 8/3時的勞侖次系統軌跡
勞侖次系統中的吸引子軌跡

簡述

 
勞侖次方程式的一條軌跡被描繪成金屬線,以展現方向以及三維結構

勞侖次吸引子及其導出的方程組是由愛德華·諾頓·勞侖次於1963年發表,最初是發表在《大氣科學雜誌》(Journal of the Atmospheric Sciences)雜誌的論文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的,是由大氣方程式中出現的對流卷方程式簡化得到的。

這一勞侖次模型不只對非線性數學有重要性,對於氣候和天氣預報來說也有着重要的含義。行星和恆星大氣可能會表現出多種不同的準周期狀態,這些準周期狀態雖然是完全確定的,但卻容易發生突變,看起來似乎是隨機變化的,而模型對此現象有明確的表述。

從技術角度看來,勞侖次振子具有非線性、三維性和確定性。2001年,沃里克·塔克爾(Warwick Tucker)證明出在一組確定的參數下,系統會表現出混沌行為,顯示出人們今天所知的奇異吸引子。這樣的奇異吸引子是豪斯多夫維數在2與3之間的碎形彼得·格拉斯伯格(Peter Grassberger)已於1983年估算出豪斯多夫維數為2.06 ± 0.01,而關聯維數英語correlation dimension為2.05 ± 0.01。

此系統也會出現在單模激光[1]發電機[2]的簡化模型中。除此之外,閉環對流、水輪轉動等物理模型也有此系統的應用。

勞侖次方程式

 
標出刻度的軌跡

勞侖次方程式是基於納維-斯托克斯方程式連續性方程式熱傳導方程式簡化得出,最初的形式為:

 
 
 
 

 是流速, 是流體溫度, 是上限溫度(也可以寫成 ), 是密度, 是壓強, 是重力,   依次是熱膨脹係數熱擴散率和動黏滯系數

簡化後的形式稱為勞侖次方程式,是決定勞侖次振子狀態的方程式為一組常微分方程式

 
 
 

含時間參數的形式:

 

 稱為普蘭特爾數 稱為瑞立數。所有的    > 0,但通常  = 10,  = 8/3, 不定。若 ,則吸引子為原點,沒有任何其他穩定點。1≤ρ<13.927時,螺線軌跡接近兩點(這相當於存在阻尼振子),兩點的位置由下列式子決定:   。系統在  = 28時表現出混沌特性,但 為其他值時會顯示出具紐結的週期軌道。例如,當 時,圖像變為一個T(3,2)環面紐結

初始條件的敏感依賴性
時間t=1 (放大) 時間t=2 (放大) 時間t=3 (放大)
     
這三幅圖是在ρ=28,σ = 10,β = 8/3的條件下生成的,展示出勞侖次吸引子中的兩條軌跡(藍色、黃色各一)的三維演變的三個時段, 這兩條軌跡的初始點只在x坐標上相差10-5。開始時,兩條軌跡似乎是重合的(藍色軌跡被黃色遮蓋,因此只能看到黃色軌跡),但一段時間後,分離就變得明顯了。
勞侖次吸引子的Java動畫展示了振子狀態連續不斷的演變 Portuguese Web Archive的存檔,存檔日期2008-03-11

瑞立數

不同ρ值時的勞侖次吸引子
   
ρ=14, σ=10, β=8/3 (放大) ρ=13, σ=10, β=8/3 (放大)
   
ρ=15, σ=10, β=8/3 (放大) ρ=28, σ=10, β=8/3 (放大)
ρ值較小時,系統是穩定的,並能演變為兩個定點吸引子中的一個;當ρ大於24.74時,定點變成了排斥子,會以非常複雜的方式排斥軌跡,演變時自身從不交叉。
顯示不同ρ值時振子狀態演變的Java動畫 Portuguese Web Archive的存檔,存檔日期2008-03-11

原始碼

GNU Octave

下面是GNU Octave模擬勞侖次吸引子的原始碼:

## Lorenz Attractor equations solved by ODE Solve
## x' = sigma*(y-x)
## y' = x*(rho - z) - y
## z' = x*y - beta*z
function dx = lorenzatt(X)
    rho = 28; sigma = 10; beta = 8/3;
    dx = zeros(3,1);
    dx(1) = sigma*(X(2) - X(1));
    dx(2) = X(1)*(rho - X(3)) - X(2);
    dx(3) = X(1)*X(2) - beta*X(3);
    return
end
## Using LSODE to solve the ODE system.
clear all
close all
lsode_options("absolute tolerance",1e-3)
lsode_options("relative tolerance",1e-4)
t = linspace(0,25,1e3); X0 = [0,1,1.05];
[X,T,MSG]=lsode(@lorenzatt,X0,t);
T
MSG
plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3))
view(45,45)

Borland C

#include <graphics.h>
#include <conio.h>
void main()
{
    double x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;
    double dt = 0.0001;
    int a = 5, b = 15, c = 1;
    int gd=DETECT, gm;
    initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");
    do {
	x1 = x + a*(-x+y)*dt;
	y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
	z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
	x = x1;	y = y1;	z = z1;
	putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
		 (int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
    } while (!kbhit());
    closegraph();
}

Borland Pascal

Program Lorenz;
Uses CRT, Graph;
Const
  x: Real = 3.051522;
  y: Real = 1.582542;
  z: Real = 15.62388;
  dt = 0.0001;
  a = 5;
  b = 15;
  c = 1;
Var
  gd, gm: Integer;
  x1, y1, z1: Real;
Begin
  gd:=Detect;
  InitGraph(gd, gm, 'c:\bp\bgi');
  While not KeyPressed Do Begin
      x1 := x + a*(-x+y)*dt;
      y1 := y + (b*x-y-z*x)*dt;
      z1 := z + (-c*z+x*y)*dt;
      x := x1;
      y := y1;
      z := z1;
      PutPixel(Round(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
               Round(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
    End;
    CloseGraph;
    ReadKey;
End.

Fortran

program LorenzSystem

real,parameter::sigma=10
real,parameter::r=28
real,parameter::b=2.666666
real,parameter::dt=.01
integer,parameter::n=1000

real x,y,z

open(1,file='result.txt',form='formatted',status='replace',action='write')

x=10.;y=10.;z=10.

do i=1,n,1
    x1=x+sigma*(y-x)*dt
    y1=y+(r*x-x*z-y)*dt
    z1=z+(x*y-b*z)*dt
    x=x1
    y=y1
    z=z1
    write(1,*)x,y,z
enddo

print *,'Done'

 close(1)

end program LorenzSystem

QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")

DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 AS SINGLE
DIM a, b, c AS INTEGER
x = 3.051522: y = 1.582542: z = 15.62388: dt = 0.0001
a = 5: b = 15: c = 1
SCREEN 12
PRINT "Press Esc to quit"
WHILE INKEY$ <> CHR$(27)
    x1 = x + a * (-x + y) * dt
    y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt
    z1 = z + (-c * z + x * y) * dt
    x = x1
    y = y1
    z = z1
    PSET ((19.3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9
WEND
END

參見

參考文獻

  1. ^ (英文)Haken, H. Analogy between higher instabilities in fluids and lasers. Physics Letters A. 1975, 53 (1): 77–78. doi:10.1016/0375-9601(75)90353-9. 
  2. ^ (英文)Knobloch, Edgar. Chaos in the segmented disc dynamo. Physics Letters A. 1981, 82 (9): 439–440. doi:10.1016/0375-9601(81)90274-7. 

外部連結