可觀測性格拉姆矩陣

控制理論中,可觀測性格拉姆矩陣(Observability Gramian)是用來判斷線性動態系統是否可觀測格拉姆矩陣

若針對以下的線性時變系統

可觀測性格拉姆矩陣為

,

其中狀態轉換矩陣

系統在具有可觀測性,若且唯若非奇異矩陣

連續時間,線性非時變系統

若在連續時間的線性非時變系統中,也可以定義可觀測性格拉姆矩陣(不過也有其他判斷可觀測性的方法)。

若考慮以下的系統

 

 

其可觀測性格拉姆矩陣是以下 的方陣

 

 若穩定(所有的特徵值實部均為負),可觀測性格拉姆矩陣也是以下李亞普諾夫方程的唯一解

 

 若穩定(所有的特徵值實部均為負),而且 也是正定矩陣,則此系統有可觀測性。

離散時間,線性非時變系統

若考慮以下的離散時間系統

 

其離散可觀測性格拉姆矩陣是以下 的方陣

 

 若穩定(所有的特徵值絕對值均小於1),也是以下離散李亞普諾夫方程的解

 

 若穩定(所有的特徵值絕對值均小於1),而且 也是正定矩陣,則此系統有可觀測性。

參考資料

  • Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999. ISBN 0-19-511777-8. 

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