可控制性格拉姆矩陣

控制理论中,可控制性格拉姆矩阵(Controllability Gramian)是用來判斷線性動態系統是否可控制格拉姆矩阵

若針對以下的線性時變系統

可控制性格拉姆矩阵為

,

其中狀態轉換矩陣

系統在具有可控制性,若且唯若非奇異矩陣

連續時間,線性非時變系統

若在連續時間的線性非時變系統中,也可以定義可控制性格拉姆矩阵(不過也有其他判斷可观测性的方法)。

若考慮以下的系統

 

 

其可控制性格拉姆矩阵是以下 的方陣

 

 若穩定(所有的特徵值實部均為負),可控制性格拉姆矩阵也是以下李亞普諾夫方程的唯一解

 

 若穩定(所有的特徵值實部均為負),而且 也是正定矩陣,則此系統具有可控制性,也就是 矩陣對具有可控制性。

此一定義也和以下其他可控制性的定義等效:

1.  的可控制性矩陣

 

的秩為n。

2.  矩陣

 

對於每個 的特徵值 ,都有滿秩。

和李亞普諾夫方程的關係

可控制性格拉姆矩陣是以下李亞普諾夫方程的解

 

假若令

 

為一個解,可得:

 

其中用到了對於穩定 ,在 時, 的事實(所有的特徵值實部均為負),因此 確實是李亞普諾夫方程的解。

格拉姆矩陣的性質

因為   是對稱矩陣,因此 也是對稱矩陣。

 是穩定矩陣(所有的特徵值實部均為負),可以證明 是唯一的。利甪反證法,先假設以下方程有二個不同解

 

分別是  ,因此可得:

 

在左右分別乘以  ,可得:

 

 積分到 

 

再利用此一事實,當 時, 

 

因此, 是唯一的。

也可以看出

 

在任何t時都為正,因此 是正定矩陣。

可控制性系統的其他特性在[1]中,以及可控制性中都有描述。

離散時間,線性非時變系統

若考慮以下的離散時間系統

 

其離散可控制性格拉姆矩阵是以下 的方陣

 

 若穩定(所有的特徵值絕對值均小於1),也是以下離散李亞普諾夫方程的解

 

 若穩定(所有的特徵值絕對值均小於1),而且 也是正定矩陣,則此系統有可控制性。

更多相關的性質及證明在[2]

線性時變系統(LTV)

考慮以下的線性時變系統(LTV):

 

其中矩陣 ,   的元素會隨時間而變化。其可控制性格拉姆矩陣為 矩陣,定義如下:

 

其中  的狀態轉移矩陣。

系統 有可控制性的充份必要條是存在 ,使得可控制性格拉姆矩陣 為非奇異矩陣。

格拉姆矩陣的性質

可控制性格拉姆矩陣 有以下的性質:

 

可以由 的定義,以及以下的狀態轉移矩陣性質來推導:

 

其他有關可控制性格拉姆矩陣的性質可以參考[3]

相關條目

參考資料

  1. ^ Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 145. ISBN 0-19-511777-8. 
  2. ^ Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 169. ISBN 0-19-511777-8. 
  3. ^ Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 176. ISBN 0-19-511777-8. 

外部連結