帕德近似

帕德近似(英语:Padé approximant)是法国数学家亨利·帕德发明的有理多项式近似法。帕德近似往往比截断的泰勒级数准确,而且当泰勒级数不收敛时,帕德近似往往仍可行,所以多用于在计算机数学中。

亨利·帕德

例如的泰勒级数

只有在时收敛,不如原函数广泛。

定义

给定自然数m和正整数n, 函数  的[m,n]阶帕德近似为

 

并且

 

对于给定的 函数 的[m,n]阶帕德近似是唯一的。

函数 的帕德近似记为

 

例子

正弦函数

 

 的6+6=12阶泰勒级数展开为

  的12阶泰勒级数全同:

 

  其泰勒级数为  

与exp(x)本身的泰勒级数展开的前10阶完全等同:  

又如

 

 


雅可比椭圆函数  

 

第一类 5 阶贝塞尔函数  

 

 

菲涅耳积分  

 

Maple计算

Maple中

pade(f(x),x,[m,n]);

其中 m,n 分别表示 分子、分母的级数;

参考文献

  • Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
  • Baker, G. A., Jr. Padé approximant页面存档备份,存于互联网档案馆), Scholarpedia页面存档备份,存于互联网档案馆), 7(6):9756.
  • Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods.= Theory and Practice. North-Holland, 1991
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP, Section 5.12 Padé Approximants, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3rd, New York: Cambridge University Press, 2007 [2015-02-24], ISBN 978-0-521-88068-8, (原始内容存档于2016-03-03) 
  • Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
  • Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1–62.
  • Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, [Ann. \'Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1–93 supplement.
  • Wynn, P., Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table, Numerische Mathematik, 1966, 8 (3): 264–269, doi:10.1007/BF02162562