朗道分佈

機率論中,朗道分佈(英語:Landau distribution[1]是因物理學家列夫·朗道而得名的一種機率分佈。由於它所具有的「長尾」現象,這種分佈的各階(如數學期望值與方差)都因發散而無法定義。這種分佈是穩定分佈的一個特例。

朗道分佈
機率密度函數

參數

— 寬度參數

— 位置參數
值域
機率密度函數
期望值 無定義
變異數 無定義
動差母函數 無定義
特徵函數

定義

標準朗道分佈的機率密度函數由以下積分式表示,

 

其中c為任意正實數,log 為自然對數。可以證明,上式結果與c的取值無關。在複數平面上做圍道積分,可得到便於計算的實積分式,

 

上式即   的標準朗道分佈機率密度函數。通過將標準朗道分佈擴展到一個位置-尺度分佈族,就可以獲得完整的朗道分佈族

 

特徵函數可表示如下,

 

兩個實參數的取值範圍   ,調整   分別實現朗道分佈的平移和縮放[2]

相關性質

 
朗道分佈在   的近似

從特徵函數出發可以推導出:

  • 平移:若   
  • 縮放:若   
  • 可加性:若   

以上三條性質保證了朗道分佈是一種穩定分佈,它的穩定參數和偏度參數  [3]

  時,朗道分佈可以近似表示為[4][5]

 


參考文獻

  1. ^ Landau, L. On the energy loss of fast particles by ionization. J. Phys. (USSR). 1944, 8: 201. 
  2. ^ Meroli, S. Energy loss measurement for charged particles in very thin silicon layers. JINST. 2011, 6: 6013. 
  3. ^ Gentle, James E. Random Number Generation and Monte Carlo Methods. Statistics and Computing 2nd. New York, NY: Springer. 2003: 196. ISBN 978-0-387-00178-4. doi:10.1007/b97336. 
  4. ^ Behrens, S. E.; Melissinos, A.C. Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981). 
  5. ^ Interaction of Charged Particles. [14 April 2014]. (原始內容存檔於2012年6月30日).