朗道分布

在概率論中，朗道分布（英語：Landau distribution）是因物理學家列夫·朗道而得名的一種概率分布。由於它所具有的「長尾」現象，這種分布的各階矩（如數學期望與方差）都因發散而無法定義。這種分布是穩定分布的一個特例。

朗道分布

機率密度函數 $\mu =0,\;c=\pi /2$
參數	$c\in (0,\infty )$ — 寬度參數 $\mu \in (-\infty ,\infty )$ — 位置參數
值域	$\mathbb {R}$
機率密度函數	${\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{e^{-ct}\cos \left((x-\mu )t+{\frac {2ct}{\pi }}\log {t}\right)\,dt}$
期望值	無定義
變異數	無定義
動差母函數	無定義
特徵函數	$\exp \left(i\mu t-{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)$

定義

標準朗道分布的概率密度函數由以下復積分式表示，

$p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\!e^{s\log s+xs}\,ds,$

其中c為任意正實數，log 為自然對數。可以證明，上式結果與c的取值無關。在複平面上做圍道積分，可得到便於計算的實積分式，

$p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\!e^{-t\log t-xt}\sin(\pi t)\,dt.$

上式即 $\mu =0,\;c=\pi /2$ 的標準朗道分布概率密度函數。通過將標準朗道分布擴展到一個位置-尺度分布族，就可以獲得完整的朗道分布族

$p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{e^{-ct}\cos \left((x-\mu )t+{\frac {2ct}{\pi }}\log {t}\right)\,dt}.$

其特徵函數可表示如下，

$\varphi (t;\mu ,c)=\exp \!\left(i\mu t-c|t|-{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|\right),$

兩個實參數的取值範圍 $\mu \in (-\infty ,\infty )$，$c\in (0,\infty )$，調整 $\mu ,\;c$ 分別實現朗道分布的平移和縮放。

相關性質

朗道分布在 $\mu =0,\,c=1$ 的近似

從特徵函數出發可以推導出：

• 平移：若 $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)$ 則 $X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)$。
• 縮放：若 $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)$ 則 $aX\sim {\textrm {Landau}}(a\mu -2ac/\pi \cdot \log {a},\,ac)$。
• 可加性：若 $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1},c_{1}),\,Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{2},c_{2})$ 則 $X+Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1}+\mu _{2},\,c_{1}+c_{2})$。

以上三條性質保證了朗道分布是一種穩定分布，它的穩定參數和偏度參數 $\alpha =\beta =1$。

當 $\mu =0,\,c=1$ 時，朗道分布可以近似表示為

$p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}(x+e^{-x})\right\}.$