最小能量控制

最小能量控制（minimum energy control）是控制理論的一種，是指讓線性非時變系統以最小能量到達理想狀態的控制$u(t)$，屬於最佳控制。

令線性非時變（LTI）系統為

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)$

其初始條件$x(t_{0})=x_{0}$。可以找到輸入$u(t)$使得系統在時間$t_{1}$的狀態為$x_{1}$，而且任何其他也可以讓系統在時間$t_{1}$的的狀態推進到$x_{1}$的輸入 ${\bar {u}}(t)$，其需要的能量都會比最小能量控制的能量要大。

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\bar {u}}^{*}(t){\bar {u}}(t)dt\ \geq \ \int _{t_{0}}^{t_{1}}u^{*}(t)u(t)dt.$

要找到此一控制輸入，先計算可控制性格拉姆矩陣

$W_{c}(t)=\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}BB^{*}e^{A^{*}(t-\tau )}d\tau .$

假設$W_{c}$為為非奇異矩陣（若且唯若系統有可控制性），最小能量控制為

$u(t)=-B^{*}e^{A^{*}(t_{1}-t)}W_{c}^{-1}(t_{1})[e^{A(t_{1}-t_{0})}x_{0}-x_{1}].$

代入其解中

$x(t)=e^{A(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

可以驗證系統在時間$t_{1}$時的狀態為$x_{1}$。

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