H square

H²或H-square是數學及控制理論的用語，是指有平方範數的哈代空間，是L²空間的子集合，因此也是希爾伯特空間。特別的是，H²空間也是再生核希爾伯特空間。

單位圓盤內的H²空間

一般而言，單位圓盤內L²空間的元素可以表示為

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }$

而H²空間的元素可以表示為

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.$

從L²空間到H²空間的映射（令n < 0時的a_n = 0）是orthogonal映射。

半平面中的H²空間

拉氏轉換 ${\mathcal {L}}$

$[{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

可以理解為以下的線性算子

${\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right)$

其中$L^{2}(0,\infty )$為正實數線上平方可積函數的集合，且$\mathbb {C} ^{+}$為複平面的右半平面，而且拉氏轉換也是同構（因為其可逆），而且等距同構，因為滿足下式

$\|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.$

拉氏轉換是「半個」傅立葉轉換，因為以下的分解

$L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )$

可以得到$L^{2}(\mathbb {R} )$正交分解成兩個哈代空間

$L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).$

在本質上就是培力-威納定理。

相關條目

• H_∞

參考資料

• Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2.