H square

H²或H-square是数学及控制理论的用语，是指有平方范数的哈代空间，是L²空间的子集合，因此也是希尔伯特空间。特别的是，H²空间也是再生核希尔伯特空间。

单位圆盘内的H²空间

一般而言，单位圆盘内L²空间的元素可以表示为

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }$

而H²空间的元素可以表示为

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.$

从L²空间到H²空间的映射（令n < 0时的a_n = 0）是orthogonal映射。

半平面中的H²空间

拉氏转换 ${\mathcal {L}}$

$[{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

可以理解为以下的线性算子

${\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right)$

其中$L^{2}(0,\infty )$为正实数线上平方可积函数的集合，且$\mathbb {C} ^{+}$为复平面的右半平面，而且拉氏转换也是同构（因为其可逆），而且等距同构，因为满足下式

$\|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.$

拉氏转换是「半个」傅立叶转换，因为以下的分解

$L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )$

可以得到$L^{2}(\mathbb {R} )$正交分解成两个哈代空间

$L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).$

在本质上就是培力-威纳定理。

相关条目

• H_∞

参考资料

• Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2.