狀態轉移矩陣

狀態轉移矩陣(state-transition matrix)是控制理論中的矩陣,是時間和初始時間的函數,可以將時間的狀態向量和此矩陣相乘,得到時間時的狀態向量。狀態轉移矩陣可以用來找線性動態系統的通解。

線性系統的解

狀態轉移矩陣用來找以下形式線性系統狀態空間下的解:

 ,

其中 為系統狀態, 為輸入信號,而 為時間 時的初始條件。利用狀態轉移矩陣 ,其解如下[1][2]

 

第一項為零輸入響應(zero-input response),第二項為零狀態響應(zero-state response)。

Peano-Baker級數解

更廣義的狀態轉移矩陣可以用Peano-Baker級數解求得

 

其中 單位矩陣。此矩陣均勻收斂到一個存在而且唯一的解,而且是絕對收斂[2]

其他性質

狀態轉移矩陣 可以表示為下式

 

其中 基礎矩陣英語Fundamental matrix (linear differential equation),滿足下式

 

狀態轉移矩陣是 的矩陣,是會映射到本身的線性映射。若 ,再給定任意時間 下的狀態 ,另一個時間 的狀態可由以下映射求得

 

狀態轉移矩陣恆滿足以下的關係:

  and
 對於所有的 ,其中 為單位矩陣[3]

 也有以下的性質:

1.  
2.  
3.  
4.  

若系統是時不變系統,可以將 定義為

 

在時變系統的例子中,可能有許多不同的函數滿足上述條件,而解和系統的結構有關。在分析時變系統的解之前,需要先確定其狀態轉移矩陣。

註解

參考資料

  1. ^ Baake, Michael; Schlaegel, Ulrike. The Peano Baker Series. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2011, 275: 155–159. 
  2. ^ 2.0 2.1 Rugh, Wilson. Linear System Theory. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1996. ISBN 0-13-441205-2. 
  3. ^ Brockett, Roger W. Finite Dimensional Linear Systems. John Wiley & Sons. 1970. ISBN 978-0-471-10585-5. 

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