状态转移矩阵

状态转移矩阵(state-transition matrix)是控制理论中的矩阵,是时间和初始时间的函数,可以将时间的状态向量和此矩阵相乘,得到时间时的状态向量。状态转移矩阵可以用来找线性动态系统的通解。

线性系统的解

状态转移矩阵用来找以下形式线性系统状态空间下的解:

 ,

其中 为系统状态, 为输入信号,而 为时间 时的初始条件。利用状态转移矩阵 ,其解如下[1][2]

 

第一项为零输入响应(zero-input response),第二项为零状态响应(zero-state response)。

Peano-Baker级数解

更广义的状态转移矩阵可以用Peano-Baker级数解求得

 

其中 单位矩阵。此矩阵均匀收敛到一个存在而且唯一的解,而且是绝对收敛[2]

其他性质

状态转移矩阵 可以表示为下式

 

其中 基础矩阵英语Fundamental matrix (linear differential equation),满足下式

 

状态转移矩阵是 的矩阵,是会映射到本身的线性映射。若 ,再给定任意时间 下的状态 ,另一个时间 的状态可由以下映射求得

 

状态转移矩阵恒满足以下的关系:

  and
 对于所有的 ,其中 为单位矩阵[3]

 也有以下的性质:

1.  
2.  
3.  
4.  

若系统是时不变系统,可以将 定义为

 

在时变系统的例子中,可能有许多不同的函数满足上述条件,而解和系统的结构有关。在分析时变系统的解之前,需要先确定其状态转移矩阵。

注解

参考资料

  1. ^ Baake, Michael; Schlaegel, Ulrike. The Peano Baker Series. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2011, 275: 155–159. 
  2. ^ 2.0 2.1 Rugh, Wilson. Linear System Theory. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1996. ISBN 0-13-441205-2. 
  3. ^ Brockett, Roger W. Finite Dimensional Linear Systems. John Wiley & Sons. 1970. ISBN 978-0-471-10585-5. 

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