八面半八面體

幾何學中,八面半八面體是一種非凸多面體,屬於星形多面體均勻多面體[1],也可以歸類在非凸均勻多面體,其索引為U3。八面半八面體由8個正三角形和4個正六邊形組成,且每個頂點對應的角皆相等,因此也可以被歸類為擬正多面體[2],然而由於這個立體同時具備半多面體的特性,因此被部分學者分成一類新的立體,即擬正半多面體(Versi-Regular Polyhedra),這類立體共有九個,最早在1881年由亞伯特·巴杜羅(Albert Badoureau)發現並描述[3]。特別地,這個立體的邊長與外接球半徑相等[4]。八面半八面體可以與星形八面體共同堆砌填滿空間,因此曾應用於建築結構中。[5]

八面半八面體
八面半八面體
類別星形均勻多面體
對偶多面體八面半無窮星形八面體
識別
名稱八面半八面體
參考索引U3, C37, W68
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
oho
數學表示法
考克斯特符號
英語Coxeter-Dynkin diagram
label3-2 branch_10ru split2 node_1 
威佐夫符號
英語Wythoff symbol
3/2 3 | 3
性質
12
24
頂點12
歐拉特徵數F=12, E=24, V=12 (χ=0)
虧格-1
組成與佈局
面的種類8個三角形{3}
4個六邊形{6}
存在半三角形{3/2}
一種抽象多胞形英語Abstract_polytope
面的佈局
英語Face configuration
8{3}+4{6}
頂點圖3.6.3/2.6
對稱性
對稱群Oh, [4,3], *432
特性
均勻
圖像
立體圖
3.6.3/2.6
頂點圖

八面半無窮星形八面體
對偶多面體

展開圖

性質

八面半八面體共有12個、24條和12個頂點[6][7],是一種十二面體,每個頂點都是2個正三角形和2個六邊形的公共頂點。[6]

定向性

八面半八面體是唯一可定向歐拉示性數半多面體[8]這意味着其具有拓撲環面的性質。[9]

 
八面半八面體
 
八面半八面體在拓樸上的展開圖可以排佈為分割成8個正三角形和4個正六邊形的菱形。所有頂點的角虧為零
 
這個展開圖是截半六邊形鑲嵌的一部份,在威佐夫符號英語Wythoff symbol中計為3 3 | 3考克斯特-狄肯記號英語Coxeter-Dynkin diagram計為   

二面角

八面半八面體僅有一種二面角,為三角形和六邊形的棱之交角,其值為三分之一的反餘弦[10][11]

 

其值約為70度31分43.6秒

頂點座標

由於其凸包為截半立方體,因此其12頂點會與截半立方體相同,為(0, ±1, ±1),(±1, 0, ±1),(±1, ±1, 0),若邊長為a,則座標要縮放 倍。[12]

作為簡單多面體

八面半八面體具有抽象多胞形半三角形面和互相相交的六邊形面,但若去除相交的面作為一個簡單多面體,則其可以視為由32個正三角形組成的凹多面體[13][14]。這種多面體共有32個面、48條邊和13個頂點,其結構與四角化截半立方體拓樸同構,不過四角化截半立方體有18個頂點而這種多面體僅有13個頂點是因為有6個頂點在中心共用。另一方面,這個立體也可以視為由8個正四面體組合而成。[15]:103

對偶多面體

八面半無窮星形八面體
 
類別無窮星形多面體
對偶多面體八面半八面體
識別
名稱八面半無窮星形八面體
參考索引DU3
數學表示法
考克斯特符號
英語Coxeter-Dynkin diagram
    
性質
12
24
頂點12
歐拉特徵數F=12, E=24, V=12 (χ=0)
組成與佈局
面的種類12個四條稜的抽象多胞形英語Abstract_polytope
頂點圖每個頂點周圍都有3個面
對稱性
對稱群Oh, [4,3], *432
圖像
 
八面半八面體
對偶多面體

八面半八面體的對偶多面體是八面半無窮星形八面體。其外觀與立方半無窮星形八面體相同[16]

從定義上來看,對偶多面體的面會與原始立體的頂點圖相同,同時頂點周圍之面的排列方式會和原始立體的面之邊相同,也就是說對偶多面體的頂點圖為原始立體的面[17]。由於八面半無窮星形八面體是八面半八面體的對偶多面體,而八面半八面體的12個頂點皆為4個面的公共頂點,因此八面半無窮星形八面體的面理應具有12個面,每個面由4個邊組成[7]。然而八面半八面體有部分面幾何中心落在整個立體的幾何中心上,因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處,即無窮實射影平面上的點。[18]一般來說,這樣的立體無法被具象化[7]。為了具像化這種立體,溫尼爾在著作《對偶模型》中將其描述為由無限高的柱體組合構成的立體,在這樣的視覺化方式下,八面半八面體外觀為由4個無限高的六角柱構成的立體[18]

相關多面體

八面半八面體可以被切割重新拼湊成星形八面體[19]

八面半八面體可透過截去皮特里立方體的所有頂點來構造,也就是說,八面半八面體可以視為截半皮特里立方體[20][21]

八面半八面體可以視為是截半立方體經過刻面後的結果[4],而立方半八面體也可以視為是刻面的截半立方體[22]

截半立方體 立方半八面體 八面半八面體
八面體對稱 四面體對稱 八面體對稱 四面體對稱
         
2 | 3 4 3 3 | 2 4/3 4 | 3 3/2 3 | 3
                   

中心八面半八面體數

中心八面半八面體數是一種排列成八面半八面體的有形數。第n個中心八面半八面體數可以表示為 [23]。由於八面半八面體數與截半立方體共用相同的頂點排列方式,因此數列前兩項與中心截半立方體數(OEIS數列A005902)相同,第三項開始少去了八面半八面體數相對於截半立方體缺少的6個四角錐[23]

前幾個中心八面半八面體數為:

1, 13, 49, 117, 225, 381, 593, 869, 1217, 1645, 2161, 2773, 3489, 4317, 5265, 6341....(OEIS數列A274974

參見

參考文獻

  1. ^ Wolfram, Stephen. "Octahemioctahedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英語). 
  2. ^ George W. Hart. Quasi-Regular Polyhedra. 1996 [2021-09-05]. (原始內容存檔於2021-08-30). 
  3. ^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47-172. 
  4. ^ 4.0 4.1 Weisstein, Eric W. (編). Octahemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  5. ^ Hisarligil, Hakan and Hisarligil, Beyhan Bolak. The Geometry of Cuboctahedra in Medieval Art in Anatolia. Nexus Network Journal (Springer). 2018, 20 (1): 125–152. 
  6. ^ 6.0 6.1 Uniform Polyhedra 03: Octahemioctahedron. mathconsult. [2016-08-31]. (原始內容存檔於2020-02-17). 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 Vladimir Bulatov. octahemioctacron. Polyhedra Collection, bulatov.org. [2021-07-30]. (原始內容存檔於2020-02-23). 
  8. ^ The Octahemioctahedron. 西密歇根大學. [2016-08-31]. (原始內容存檔於2016-03-14). 
  9. ^ David A. Richter. The Octahemioctahedron. [2016-08-31]. (原始內容存檔於2016-03-14). 
  10. ^ Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.
  11. ^ Versi-Regular Polyhedra: Octahemioctahedron. dmccooey.com. [2016-08-31]. (原始內容存檔於2019-10-03). 
  12. ^ Klitzing, Richard. octahemioctahedron, oho. bendwavy.org. [2021-09-06]. (原始內容存檔於2021-01-23). 
  13. ^ Gijs Korthals Altes. 作為簡單多面體的八面半八面體展開圖 (PDF). korthalsaltes.com. [2016-08-31]. (原始內容 (PDF)存檔於2016-06-15). 
  14. ^ Robert Webb. Octahemioctahedron. software3d.com. [2021-09-07]. (原始內容存檔於2021-07-29). 
  15. ^ Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-06]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. (原始內容存檔於2021-08-31). 
  16. ^ Weisstein, Eric W. (編). Octahemioctacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  17. ^ Weisstein, Eric W. (編). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  18. ^ 18.0 18.1 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)
  19. ^ HİSARLIGİL, Hakan and HİSARLIGİL, Beyhan BOLAK. The third dimension of the Magdouh Mosaic in Antioch. Journal of Mosaic Research. 2019, (12): 107-118},. 
  20. ^ {6,3}(2,2), Petrie dual of the cube. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. 
  21. ^ octahemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. (原始內容存檔於2021-07-25). 
  22. ^ Weisstein, Eric W. (編). Cubohemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  23. ^ 23.0 23.1 Sloane, N.J.A. (編). Sequence A274974 (Centered octahemioctahedral numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 

外部連結