愛因斯坦求和約定

數學裏,特別是將線性代數套用到物理時,愛因斯坦求和約定Einstein summation convention)是一種標記的約定,又稱為愛因斯坦標記法Einstein notation),在處理關於坐標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特·愛因斯坦於1916年提出的[1]。後來,愛因斯坦與友人半開玩笑地說[2]:「這是數學史上的一大發現,若不信的話,可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」

按照愛因斯坦求和約定,當一個單獨項目內有標號變數出現兩次,一次是上標,一次是下標時,則必須總和所有這單獨項目的可能值。通常而言,標號的標值為1、2、3(代表維度為三的歐幾里得空間),或0、1、2、3(代表維度為四的時空閔可夫斯基時空)。但是,標值可以有任意值域,甚至(在某些應用案例裏)無限集合。這樣,在三維空間裏,

的意思是

請特別注意,上標並不是指數,而是標記不同坐標。例如,在直角坐標系裏,分別表示坐標、坐標、坐標,而不是的平方、的立方。

簡介

愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量向量可以形成純量

 

通常會將這寫為求和公式形式:

 

基底變換之下,純量保持不變。當基底改變時,一個向量的線性變換可以用矩陣來描述,而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證,不論基底為何,伴隨餘向量的線性函數(即上述總和)保持不變。由於只有總和不變,而總和所涉及的每一個項目都有可能會改變,所以,愛因斯坦提出了這標記法,重複標號表示總和,不需要用到求和符號

 

採用愛因斯坦標記法,餘向量都是以下標來標記,而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起,大多數涉及的方程式都是線性,不超過變數的一次方。在方程式裏,單獨項目內的標號變數最多只會出現兩次,假若多於兩次,或出現任何其它例外,則都必須特別加以說明,才不會造成含意混淆不清。

向量的表示

線性代數裏,採用愛因斯坦標記法,可以很容易的分辨向量和餘向量(又稱為1-形式)。向量的分量是用上標來標明,例如, 。給予一個 維向量空間 和其任意基底 (可能不是標準正交基),那麼,向量 表示為

 

餘向量的分量是用下標來標明,例如, 。給予 對偶空間 和其任意基底 (可能不是標準正交基),那麼,餘向量 表示為

 

採用向量的共變和反變術語,上標表示反變向量(向量)。對於基底的改變,從 改變為 ,反變向量會變換為

 

其中, 是改變基底後的向量的分量, 是改變基底後的坐標, 是原先的坐標,

下標表示共變向量(餘向量)。對於基底的改變,從 改變為 ,共變向量會會變換為

 

一般運算

矩陣 的第 橫排,第  豎排的元素,以前標記為 ;現在改標記為 。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下:

內積

給予向量 和餘向量 ,其向量和餘向量的內積為純量:

 

向量乘以矩陣

給予矩陣 和向量 ,它們的乘積是向量 

 

類似地,矩陣 轉置矩陣 ,其與餘向量 的乘積是餘向量 

 

矩陣乘法

矩陣乘法表示為

 

這公式等價於較冗長的普通標記法:

 

給予一個方塊矩陣 ,總和所有上標與下標相同的元素 ,可以得到這矩陣的 

 

外積

M維向量 和N維餘向量 外積是一個M×N矩陣 

 

採用愛因斯坦標記式,上述方程式可以表示為

 

由於  代表兩個不同的標號,在這案例,值域分別為M和N,外積不會除去這兩個標號,而使這兩個標號變成了新矩陣 的標號。

向量的內積

一般力學工程學會用互相標準正交基基底向量   來描述三維空間的向量。

 

直角坐標系的基底向量   寫成   ,所以一個向量可以寫成:

 

根據愛因斯坦求和約定,若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標,則此項代表著所有可能值之總和:

 

由於基底是標準正交基, 的每一個分量 ,所以,

 

兩個向量  內積

 

由於基底是標準正交基,基底向量相互正交歸一:

 

其中, 就是克羅內克函數。當 時,則 ,否則 

邏輯上,在方程式內的任意項目,若遇到了克羅內克函數 ,就可以把方程式中的標號 轉為 或者把標號 轉為 。所以,

 

向量的叉積

採用同樣的標準正交基   ,兩個向量  叉積,以方程式表示為

 
 

注意到

 

其中,張量 列維-奇維塔符號,定義為

  ,若      (偶置換
,若     (奇置換)
,若    

所以,

 

設定 ,那麼,

 

所以,

 

向量的共變分量和反變分量

歐幾里得空間 裏,共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量;對於所有向量 ,通過下述方程式,向量 唯一地確定了餘向量 

 

逆過來,通過上述方程式,每一個餘向量 唯一地確定了向量 。由於這向量與餘向量的相互辨認,我們可以提到向量的共變分量和反變分量;也就是說,它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予 的一個基底 ,則必存在一個唯一的對偶基底 ,滿足

 

其中,張量 克羅內克函數

以這兩種基底,任意向量 可以寫為兩種形式

 

其中, 是向量 對於基底 的反變分量, 是向量 對於基底 的共變分量,

歐幾里得空間

 
將向量  投影於坐標軸 ,可以求得其反變分量 ;將向量 投影於坐標曲面法線 ,可以求得其共變分量 

歐幾里得空間 裏,使用內積運算,能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底,其基底向量為   ,就可以計算其對偶基底的基底向量:

 

其中, 是基底向量   共同形成的平行六面體的體積。

反過來計算,

 

其中, 是基底向量   共同形成的平行六面體的體積。

雖然  並不相互標準正交,它們相互對偶:

 

雖然  並不相互標準正交,它們相互對偶:

 

這樣,任意向量 的反變分量為

 

類似地,共變分量為

 

這樣, 可以表示為

 

或者,

 

綜合上述關係式,

 

向量 的共變分量為

 

其中, 度規張量

向量 的反變分量為

  ;

其中, 共軛度規張量

共變分量的標號是下標,反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基,或反變基底向量組成的基底是標準正交基,則共變基底與反變基底相互等價。那麼,就沒有必要分辨共變分量和反變分量,所有的標號都可以用下標來標記。

抽象定義

思考維度為 的向量空間 。給予一個可能不是標準正交基的基底 。那麼,在 內的向量 ,對於這基底,其分量為  、... 。以方程式表示,

 

在這方程式右手邊,標號 在同一項目出現了兩次,一次是上標,一次是下標,因此,從 等於  ,這項目的每一個可能值都必須總和在一起。

愛因斯坦約定的優點是,它可以應用於從 張量積對偶性建立的向量空間。例如,  與自己的張量積,擁有由形式為 的張量組成的基底。任意在 內的張量 可以寫為

 

向量空間 對偶空間 擁有基底 ,遵守規則

 

其中, 克羅內克函數

範例

為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定,在這裏給出幾個簡單的例子。

  • 思考四維時空,標號的值是從0到3。兩個張量,經過張量縮併tensor contraction)運算後,變為一個純量:
 
  • 方程式的右手邊有兩個項目:
 
由於運算結果與標號  無關,可以被其它標號隨意更換,所以,  稱為傀標號
自由標號是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式的每一個項目裏,而且在每一個項目裏只出現一次。在上述方程式裏, 是自由標號,每一個項目都必須有同樣的自由標號。注意到在項目 裏,標號 出現了兩次,一次是上標,一次是下標,所以,這項目的所有可能值都必須總和在一起。稱 求和標號
  • 思考在黎曼空間的弧線元素長度 
 。請將這兩種標號跟自由變量和約束變量相比較。
進一步擴展,
 
 
 
 
注意到  乘以 ,是 ,而不是 坐標的微小元素。當有疑慮時,可以用括號來分歧義。

參閱

參考文獻

  1. ^ Einstein, Albert, The Foundation of the General Theory of Relativity, Annalen der Physik, 1916 [2006-09-03], (原始內容 (PDF)存檔於2007-07-22) 
  2. ^ Byron, Frederick; Fuller, Robert, Mathematics of classical and quantum physics, Courier Dover Publications: pp. 5, 1992, ISBN 9780486671642 

外部連結