在数学 里，特别是将线性代数 套用到物理 时，爱因斯坦求和约定 （Einstein summation convention ）是一种标记的约定，又称为爱因斯坦标记法 （Einstein notation ），在处理关于坐标 的方程式时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦 于1916年提出的[ 1] [ 2] 数学史 上的一大发现，若不信的话，可以试着返回那不使用这方法的古板日子。”
按照爱因斯坦求和约定，当一个单独项目内有标号变量出现两次，一次是上标，一次是下标时，则必须总和所有这单独项目的可能值。通常而言，标号的标值为1、2、3（代表维度为三的欧几里得空间 ），或0、1、2、3（代表维度为四的时空 或闵可夫斯基时空 ）。但是，标值可以有任意值域，甚至（在某些应用案例里）无限集合 。这样，在三维空间里，
y
=
c
i
x
i
{\displaystyle y=c_{i}x^{i}\,\!}
的意思是
y
=
∑
i
=
1
3
c
i
x
i
=
c
1
x
1
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
{\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}\,\!}
请特别注意，上标并不是指数 ，而是标记不同坐标。例如，在直角坐标系里，
x
1
{\displaystyle x^{1}\,\!}
x
2
{\displaystyle x^{2}\,\!}
x
3
{\displaystyle x^{3}\,\!}
x
{\displaystyle x\,\!}
y
{\displaystyle y\,\!}
z
{\displaystyle z\,\!}
x
{\displaystyle x\,\!}
x
{\displaystyle x\,\!}
x
{\displaystyle x\,\!}
爱因斯坦标记法的基本点子是余向量 与向量 可以形成标量 ：
y
=
c
1
x
1
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
⋯
+
c
n
x
n
{\displaystyle y=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots +c_{n}x^{n}\,\!}
通常会将这写为求和公式 形式：
y
=
∑
i
=
1
n
c
i
x
i
{\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}c_{i}x^{i}\,\!}
在基底 变换之下，标量保持不变。当基底改变时，一个向量的线性变换 可以用矩阵 来描述，而余向量的线性变换则需用其逆矩阵 来描述。这样的设计为的是要保证，不论基底为何，伴随余向量的线性函数 （即上述总和）保持不变。由于只有总和不变，而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变，所以，爱因斯坦提出了这标记法，重复标号表示总和，不需要用到求和符号 ：
y
=
c
i
x
i
{\displaystyle y=c_{i}x^{i}\,\,\!}
采用爱因斯坦标记法，余向量都是以下标来标记，而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数 混淆在一起，大多数涉及的方程式都是线性，不超过变量的一次方。在方程式里，单独项目内的标号变量最多只会出现两次，假若多于两次，或出现任何其它例外，则都必须特别加以说明，才不会造成含意混淆不清。
在线性代数 里，采用爱因斯坦标记法，可以很容易的分辨向量和余向量 （又称为1-形式 ）。向量的分量是用上标来标明，例如，
a
i
{\displaystyle a^{i}\,\!}
n
{\displaystyle n\,\!}
V
{\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
基底
e
=
(
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle \mathbf {e} =(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n})\,\!}
标准正交基 ），那么，向量
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
a
=
a
i
e
i
=
[
a
1
a
2
⋮
a
n
]
{\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}a^{1}\\a^{2}\\\vdots \\a^{n}\end{bmatrix}}\,\!}
余向量的分量是用下标来标明，例如，
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}\,\!}
V
{\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
对偶空间
V
∗
{\displaystyle \mathbb {V} ^{*}\,\!}
ω
=
(
ω
1
,
ω
2
,
…
,
ω
n
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}^{1},{\boldsymbol {\omega }}^{2},\dots ,{\boldsymbol {\omega }}^{n})\,\!}
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
α
=
α
i
ω
i
=
[
α
1
α
2
⋯
α
n
]
{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=\alpha _{i}{\boldsymbol {\omega }}^{i}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}\,\!}
采用向量的共变和反变 术语，上标表示反变向量 （向量）。对于基底的改变，从
e
{\displaystyle \mathbf {e} \,\!}
e
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbf {e} }}\,\!}
a
¯
i
=
∂
x
¯
i
∂
x
j
a
j
{\displaystyle {\overline {a}}^{i}={\frac {\partial {\overline {x}}^{i}}{\partial x^{j}}}a^{j}\,\!}
其中，
a
¯
i
{\displaystyle {\overline {a}}^{i}\,\!}
x
¯
i
{\displaystyle {\overline {x}}^{i}\,\!}
x
j
{\displaystyle x^{j}\,\!}
下标表示共变向量 （余向量）。对于基底的改变，从
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
ω
¯
{\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\omega }}}\,\!}
α
¯
i
=
∂
x
i
∂
x
¯
j
α
j
{\displaystyle {\overline {\alpha }}_{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\overline {x}}^{j}}}\alpha _{j}\,\!}
矩阵
A
{\displaystyle A\,\!}
m
{\displaystyle m\,\!}
n
{\displaystyle n\,\!}
A
m
n
{\displaystyle A_{mn}\,\!}
A
n
m
{\displaystyle A_{n}^{m}\,\!}
给予向量
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
a
⋅
α
=
a
i
α
i
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}=a_{i}\alpha ^{i}\,\!}
给予矩阵
A
{\displaystyle A\,\!}
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
b
{\displaystyle \mathbf {b} \,\!}
b
i
=
A
j
i
a
j
{\displaystyle b^{i}=A_{j}^{i}a^{j}\,\!}
类似地，矩阵
A
{\displaystyle A\,\!}
转置矩阵
B
=
A
T
{\displaystyle B=A^{\mathrm {T} }\,\!}
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
β
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\,\!}
β
j
=
B
j
i
α
i
=
α
i
B
j
i
{\displaystyle \beta _{j}=B_{j}^{i}\alpha _{i}=\alpha _{i}B_{j}^{i}\,\!}
矩阵乘法 表示为
C
k
i
=
A
j
i
B
k
j
{\displaystyle C_{k}^{i}=A_{j}^{i}\,B_{k}^{j}\,\!}
这公式等价于较冗长的普通标记法：
C
i
k
=
(
A
B
)
i
k
=
∑
j
=
1
N
A
i
j
B
j
k
{\displaystyle C_{ik}=(A\,B)_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}\,\!}
给予一个方块矩阵
A
j
i
{\displaystyle A_{j}^{i}\,\!}
A
i
i
{\displaystyle A_{i}^{i}\,\!}
迹
t
{\displaystyle t\,\!}
t
=
A
i
i
{\displaystyle t=A_{i}^{i}\,\!}
M维向量
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
外积 是一个M×N矩阵
A
{\displaystyle A\,\!}
A
=
a
α
{\displaystyle A=\mathbf {a} \,{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
采用爱因斯坦标记式，上述方程式可以表示为
A
j
i
=
a
i
α
j
{\displaystyle A_{j}^{i}=a^{i}\,\alpha _{j}\,\!}
由于
i
{\displaystyle i\,\!}
j
{\displaystyle j\,\!}
A
{\displaystyle A\,\!}
一般力学 及工程学 会用互相标准正交基 的基底向量
i
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\,\!}
j
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}\,\!}
k
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}
u
=
u
x
i
^
+
u
y
j
^
+
u
z
k
^
{\displaystyle \mathbf {u} =u_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+u_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+u_{z}{\hat {\mathbf {k} }}\,\!}
把直角坐标系 的基底向量
i
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\,\!}
j
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}\,\!}
k
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}
e
^
1
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\,\!}
e
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\,\!}
e
^
3
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!}
u
=
u
1
e
^
1
+
u
2
e
^
2
+
u
3
e
^
3
=
∑
i
=
1
3
u
i
e
^
i
{\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+u_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+u_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}
根据爱因斯坦求和约定 ，若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标，则此项代表着所有可能值之总和：
u
=
u
i
e
^
i
=
∑
i
=
1
3
u
i
e
^
i
{\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{i=1}^{3}u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}
由于基底是标准正交基，
u
{\displaystyle \mathbf {u} \,\!}
u
i
=
u
i
{\displaystyle u^{i}=u_{i}\,\!}
u
=
∑
i
=
1
3
u
i
e
^
i
{\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}
两个向量
u
{\displaystyle \mathbf {u} \,\!}
v
{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
内积 是
u
⋅
v
=
(
u
i
e
^
i
)
⋅
(
v
j
e
^
j
)
=
(
∑
i
=
1
3
u
i
e
^
i
)
⋅
(
∑
j
=
1
3
v
j
e
j
)
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
u
i
v
j
(
e
^
i
⋅
e
^
j
)
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =(u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\cdot (v^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=\left(\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}({\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j})\,\!}
由于基底是标准正交基，基底向量相互正交归一：
e
^
i
⋅
e
^
j
=
δ
i
j
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}\,\!}
其中，
δ
i
j
{\displaystyle \ \delta _{ij}\,\!}
克罗内克函数 。当
i
=
j
{\displaystyle i=j\,\!}
δ
i
j
=
1
{\displaystyle \delta _{ij}=1\,\!}
δ
i
j
=
0
{\displaystyle \delta _{ij}=0\,\!}
逻辑上，在方程式内的任意项目，若遇到了克罗内克函数
δ
i
j
{\displaystyle \ \delta _{ij}\,\!}
i
{\displaystyle i\,\!}
j
{\displaystyle j\,\!}
j
{\displaystyle j\,\!}
i
{\displaystyle i\,\!}
u
⋅
v
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
u
i
v
j
δ
i
j
=
∑
i
=
1
3
u
i
v
i
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}\delta _{ij}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}v_{i}\,\!}
采用同样的标准正交基
e
^
1
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\,\!}
e
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\,\!}
e
^
3
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!}
u
{\displaystyle \mathbf {u} \,\!}
v
{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
叉积 ，以方程式表示为
u
×
v
=
(
u
j
e
^
j
)
×
(
v
k
e
^
k
)
=
(
∑
j
=
1
3
u
j
e
^
j
)
×
(
∑
k
=
1
3
v
k
e
^
k
)
{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\times (v^{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k})=\left(\sum _{j=1}^{3}u_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}\right)\times \left(\sum _{k=1}^{3}v_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}\right)\,\!}
=
∑
j
=
1
3
∑
k
=
1
3
u
j
v
k
(
e
j
×
e
k
)
=
∑
j
=
1
3
∑
k
=
1
3
u
j
v
k
ϵ
i
j
k
e
i
{\displaystyle =\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}u_{j}v_{k}(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}u_{j}v_{k}\epsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}\,\!}
注意到
e
^
j
×
e
^
k
=
ϵ
i
j
k
e
^
i
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\times {\hat {\mathbf {e} }}_{k}=\epsilon _{ijk}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}
其中，张量
ϵ
i
j
k
{\displaystyle \ \epsilon _{ijk}\,\!}
列维-奇维塔符号 ，定义为
ϵ
i
j
k
=
ϵ
i
j
k
=
d
e
f
{
+
1
−
1
0
{\displaystyle \epsilon _{ijk}=\epsilon ^{ijk}\ {\stackrel {def}{=}}{\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,\!}
，若
(
i
,
j
,
k
)
=
{\displaystyle (i,j,k)=\,\!}
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}\,\!}
{
2
,
3
,
1
}
{\displaystyle \{2,3,1\}\,\!}
{
3
,
1
,
2
}
{\displaystyle \{3,1,2\}\,\!}
置换 ）
，若
(
i
,
j
,
k
)
=
{\displaystyle (i,j,k)=\,\!}
{
3
,
2
,
1
}
{\displaystyle \{3,2,1\}\,\!}
{
2
,
1
,
3
}
{\displaystyle \{2,1,3\}\,\!}
{
1
,
3
,
2
}
{\displaystyle \{1,3,2\}\,\!}
，若
i
=
j
{\displaystyle i=j\,\!}
j
=
k
{\displaystyle j=k\,\!}
i
=
k
{\displaystyle i=k\,\!}
所以，
u
×
v
=
(
u
2
v
3
−
u
3
v
2
)
e
^
1
+
(
u
3
v
1
−
u
1
v
3
)
e
^
2
+
(
u
1
v
2
−
u
2
v
1
)
e
^
3
{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u^{2}v^{3}-u^{3}v^{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(u^{3}v^{1}-u^{1}v^{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(u^{1}v^{2}-u^{2}v^{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!}
设定
w
=
u
×
v
{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} \times \mathbf {v} \,\!}
w
i
e
^
i
=
ϵ
i
j
k
u
j
v
k
e
^
i
{\displaystyle w^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=\epsilon ^{ijk}u_{j}v_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}
所以，
w
i
=
ϵ
i
j
k
u
j
v
k
{\displaystyle \ w^{i}=\epsilon ^{ijk}u_{j}v_{k}\,\!}
在欧几里得空间
V
{\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
内积 运算从向量求得余向量；对于所有向量
b
{\displaystyle \mathbf {b} \,\!}
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
α
(
b
)
=
a
⋅
b
{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(\mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \,\!}
逆过来，通过上述方程式，每一个余向量
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
给予
V
{\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
f
=
(
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {f}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\,\!}
f
♯
=
(
Y
1
,
Y
2
,
…
,
Y
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {f}}^{\sharp }=(Y^{1},Y^{2},\dots ,Y^{n})\,\!}
Y
i
⋅
X
j
=
δ
j
i
{\displaystyle Y^{i}\cdot X_{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}
其中，张量
δ
j
i
{\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}
克罗内克函数 。
以这两种基底，任意向量
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
a
=
∑
i
a
i
[
f
]
X
i
=
f
a
[
f
]
=
∑
i
a
i
[
f
]
Y
i
=
f
♯
a
[
f
♯
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i}a^{i}[{\mathfrak {f}}]X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {a} [{\mathfrak {f}}]\\&=\sum _{i}a_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {a} [{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\!}
； 其中，
a
i
[
f
]
{\displaystyle a^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
f
{\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!}
a
i
[
f
]
{\displaystyle a_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}
v
{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
f
{\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!}
将向量
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
投影 于坐标轴
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\,\!}
a
i
{\displaystyle a^{i}\,\!}
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
坐标曲面 的法线
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}
a
i
{\displaystyle a_{i}\,\!}
在欧几里得空间
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\,\!}
内积 运算，能够从向量求得余向量。给予一个可能不是标准正交基 的基底，其基底向量为
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}
e
2
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}
e
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}
e
1
=
e
2
×
e
3
τ
;
e
2
=
e
3
×
e
1
τ
;
e
3
=
e
1
×
e
2
τ
{\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\tau }}\,\!}
其中，
τ
=
e
1
⋅
(
e
2
×
e
3
)
{\displaystyle \tau =\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,\!}
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}
e
2
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}
e
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}
平行六面体 的体积。
反过来计算，
e
1
=
e
2
×
e
3
τ
′
;
e
2
=
e
3
×
e
1
τ
′
;
e
3
=
e
1
×
e
2
τ
′
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\tau '}}\,\!}
其中，
τ
′
=
e
1
⋅
(
e
2
×
e
3
)
=
1
/
τ
{\displaystyle \tau '=\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})=1/\tau \,\!}
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} ^{1}\,\!}
e
2
{\displaystyle \mathbf {e} ^{2}\,\!}
e
3
{\displaystyle \mathbf {e} ^{3}\,\!}
虽然
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}
e
j
{\displaystyle \mathbf {e} ^{j}\,\!}
e
i
⋅
e
j
=
δ
i
j
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}\,\!}
虽然
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\,\!}
e
j
{\displaystyle \mathbf {e} _{j}\,\!}
e
i
⋅
e
j
=
δ
j
i
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}
这样，任意向量
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
a
1
=
a
⋅
e
1
;
a
2
=
a
⋅
e
2
;
a
3
=
a
⋅
e
3
{\displaystyle a^{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad a^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad a^{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{3}\,\!}
类似地，共变分量为
a
1
=
a
⋅
e
1
;
a
2
=
a
⋅
e
2
;
a
3
=
a
⋅
e
3
{\displaystyle a_{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad a_{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad a_{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}\,\!}
这样，
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
a
=
a
i
e
i
=
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
a
3
e
3
{\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} ^{i}=a_{1}\mathbf {e} ^{1}+a_{2}\mathbf {e} ^{2}+a_{3}\mathbf {e} ^{3}\,\!}
或者，
a
=
a
i
e
i
=
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
a
3
e
3
{\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}=a^{1}\mathbf {e} _{1}+a^{2}\mathbf {e} _{2}+a^{3}\mathbf {e} _{3}\,\!}
综合上述关系式，
a
=
(
a
⋅
e
i
)
e
i
=
(
a
⋅
e
i
)
e
i
{\displaystyle \mathbf {a} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}\,\!}
向量
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
a
i
=
a
⋅
e
i
=
(
a
j
e
j
)
⋅
e
i
=
(
e
j
⋅
e
i
)
a
j
=
g
j
i
a
j
{\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=(a^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})a^{j}=g_{ji}a^{j}\,\!}
其中，
g
j
i
=
e
j
⋅
e
i
{\displaystyle g_{ji}=\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i}\,\!}
度规张量 。
向量
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
a
i
=
a
⋅
e
i
=
(
a
j
e
j
)
⋅
e
i
=
(
e
j
⋅
e
i
)
a
j
=
g
j
i
a
j
{\displaystyle a^{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(a_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})a_{j}=g^{ji}a_{j}\,\!}
其中，
g
j
i
=
e
j
⋅
e
i
{\displaystyle g^{ji}=\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i}\,\!}
共轭度规张量 。
共变分量的标号是下标，反变分量的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基，或反变基底向量组成的基底是标准正交基，则共变基底与反变基底相互等价。那么，就没有必要分辨共变分量和反变分量，所有的标号都可以用下标来标记。
思考维度为
n
{\displaystyle n\,\!}
V
{\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
(
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n})\,\!}
V
{\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
v
{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
v
1
{\displaystyle v^{1}\,\!}
v
2
{\displaystyle v^{2}\,\!}
v
n
{\displaystyle v^{n}\,\!}
v
=
v
i
e
i
.
{\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}.\,\!}
在这方程式右手边，标号
i
{\displaystyle i\,\!}
i
{\displaystyle i\,\!}
1
{\displaystyle 1\,\!}
n
{\displaystyle n\,\!}
爱因斯坦约定的优点是，它可以应用于从
V
{\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
张量积 和对偶性 建立的向量空间。例如，
V
⊗
V
{\displaystyle \mathbb {V} \otimes \mathbb {V} \,\!}
V
{\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
e
i
j
=
e
i
⊗
e
j
{\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,\!}
V
⊗
V
{\displaystyle \mathbb {V} \otimes \mathbb {V} \,\!}
T
{\displaystyle \mathbf {T} \,\!}
T
=
T
i
j
e
i
j
{\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}\,\!}
向量空间
V
{\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
对偶空间
V
∗
{\displaystyle \mathbb {V} ^{*}\,\!}
(
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle (\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\dots ,\mathbf {e} ^{n})\,\!}
e
i
⋅
e
j
=
δ
j
i
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}
其中，
δ
j
i
{\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}
克罗内克函数 。
为了更明确地解释爱因斯坦求和约定，在这里给出几个简单的例子。
思考四维时空，标号的值是从0到3。两个张量，经过张量缩并 （tensor contraction ）运算后，变为一个标量：
c
=
a
μ
b
μ
=
a
0
b
0
+
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
{\displaystyle c=a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}\,\!}
c
ν
=
a
μ
ν
b
μ
+
f
ν
=
a
0
ν
b
0
+
a
1
ν
b
1
+
a
2
ν
b
2
+
a
3
ν
b
3
+
f
ν
{\displaystyle c^{\nu }=a^{\mu \nu }b_{\mu }+f^{\nu }=a^{0\nu }b_{0}+a^{1\nu }b_{1}+a^{2\nu }b_{2}+a^{3\nu }b_{3}+f^{\nu }\,\!}
由于运算结果与标号
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
ν
{\displaystyle \nu \,\!}
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
ν
{\displaystyle \nu \,\!}
傀标号 。 自由标号 是没有被总和的标号。自由标号应该出现于方程式的每一个项目里，而且在每一个项目里只出现一次。在上述方程式里，
ν
{\displaystyle \nu \,\!}
a
μ
ν
b
μ
{\displaystyle a^{\mu \nu }b_{\mu }\,\!}
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
求和标号 。思考在黎曼空间 的弧线元素长度
d
s
{\displaystyle ds\,\!}
d
s
2
=
g
i
j
d
x
i
d
x
j
=
g
0
j
d
x
0
d
x
j
+
g
1
j
d
x
1
d
x
j
+
g
2
j
d
x
2
d
x
j
+
g
3
j
d
x
3
d
x
j
{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}=g_{0j}dx^{0}dx^{j}+g_{1j}dx^{1}dx^{j}+g_{2j}dx^{2}dx^{j}+g_{3j}dx^{3}dx^{j}\,\!}
自由变量和约束变量 相比较。进一步扩展，
d
s
2
=
g
00
d
x
0
d
x
0
+
g
10
d
x
1
d
x
0
+
g
20
d
x
2
d
x
0
+
g
30
d
x
3
d
x
0
{\displaystyle ds^{2}=g_{00}dx^{0}dx^{0}+g_{10}dx^{1}dx^{0}+g_{20}dx^{2}dx^{0}+g_{30}dx^{3}dx^{0}\,\!}
+
g
01
d
x
0
d
x
1
+
g
11
d
x
1
d
x
1
+
g
21
d
x
2
d
x
1
+
g
31
d
x
3
d
x
1
{\displaystyle \qquad +g_{01}dx^{0}dx^{1}+g_{11}dx^{1}dx^{1}+g_{21}dx^{2}dx^{1}+g_{31}dx^{3}dx^{1}\,\!}
+
g
02
d
x
0
d
x
2
+
g
12
d
x
1
d
x
2
+
g
22
d
x
2
d
x
2
+
g
32
d
x
3
d
x
2
{\displaystyle \qquad +g_{02}dx^{0}dx^{2}+g_{12}dx^{1}dx^{2}+g_{22}dx^{2}dx^{2}+g_{32}dx^{3}dx^{2}\,\!}
+
g
03
d
x
0
d
x
3
+
g
13
d
x
1
d
x
3
+
g
23
d
x
2
d
x
3
+
g
33
d
x
3
d
x
3
{\displaystyle \qquad +g_{03}dx^{0}dx^{3}+g_{13}dx^{1}dx^{3}+g_{23}dx^{2}dx^{3}+g_{33}dx^{3}dx^{3}\,\!}
注意到
d
s
2
{\displaystyle ds^{2}\,\!}
d
s
{\displaystyle ds\,\!}
d
s
{\displaystyle ds\,\!}
(
d
s
)
2
{\displaystyle (ds)^{2}\,\!}
(
s
2
)
{\displaystyle (s^{2})\,\!}
括号 来分歧义。
^ Einstein, Albert , The Foundation of the General Theory of Relativity , Annalen der Physik, 1916 [2006-09-03 ] , （原始内容 (PDF ) 存档于2007-07-22） ^ Byron, Frederick; Fuller, Robert, Mathematics of classical and quantum physics, Courier Dover Publications: pp. 5, 1992, ISBN 9780486671642
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i}a^{i}[{\mathfrak {f}}]X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {a} [{\mathfrak {f}}]\\&=\sum _{i}a_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {a} [{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984f89cafed78afe623735c619ef7c614a288acc)
![{\displaystyle a^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9ee82ac18987ca43e49a15ad7d68c3e2eccdcb)
![{\displaystyle a_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d4bbdb593a89bbbed146bd08e7bd3a2e829803)
