向量分析

向量分析,或稱為向量微積分(英語:Vector calculus)是數學的一個分支,主要研究在3維歐幾里得空間向量場微分積分。「向量分析」有時也用作多元微積分的代名詞,其中包括向量分析,以及偏微分多重積分等更廣泛的問題。

向量分析在微分幾何偏微分方程的研究中起着重要作用。它被廣泛應用於物理工程中,特別是電磁場引力場和流體流動的描述中。

向量分析由約西亞·吉布斯奧利弗·黑維塞於19世紀末從四元數分析發展而來,大多數符號和術語由吉布斯和愛德華·比德韋爾·威爾遜英語Edwin Bidwell Wilson在《向量分析》(1901)中提出。向量演算的常規形式中使用外積,不能推廣到更高維度,而另一種幾何代數的方法運用了可推廣的外積,下文將會討論。

基本對象

標量場

標量場將空間中的每點與標量值相關聯。標量是代表物理量的數字。標量場的應用如空間中的溫度分布、流體中的壓強分布、零旋量子場(稱為標量玻色子)如希格斯場。這些場是標量場論的研究對象。

向量場

向量場向量分配給空間中的每一點。[1]例如,平面中的向量場可形象地理解為一組箭頭的集合,每個都有給定的大小與方向,並與平面上的點相關聯。向量場常用於模擬運動流體在整個空間中的速度和方向,或某種(如磁力引力)在點之間變化時的強度和方向。例如,這可用於計算在一條線上所做的

向量和偽向量

在更高級的處理中,進一步區分了偽向量場和贗標量場,它們只在反向映射下符號會變化:例如,向量場的旋度是偽向量場,若反射一個向量場,旋度會指向相反的方向。這種區別在幾何代數中有闡述,下詳。

向量運算

代數運算

向量分析中的基本代數(非微分)的運算稱為向量代數,定義在一向量空間,然後應用到整個向量場,基本代數運算有:

向量分析基本代數運算
運算 記作 描述
向量加法   兩個向量相加,產生向量。
標量乘法   標量和向量相乘,產生向量。
內積 / 點積   兩個向量相乘,產生標量。
外積 / 叉積    中兩向量相乘,產生(偽)向量。

兩種三重積也比較常見:

向量分析中的三重積
運算 記作 描述
標量三重積   向量與兩向量叉積的點積。
向量三重積   向量與兩向量叉積的叉積。

三重積不常作為基本運算,不過仍可以用內積及外積表示。

微分運算

向量分析研究定義在標量場或向量場定義的不同微分算子,通常用的向量算子(∇)來表示,也被稱為「Nabla算子」。向量分析的五個最重要的微分運算:

算子 表示 敘述 界域
梯度   純量場   於場中某點增加率最大的速率與方向 純量場的梯度是向量場
散度   向量場   於場中某點附近發散匯聚的程度 向量場的散度是純量場
旋度   向量場   於場中某點附近旋轉的程度 向量場的旋度是向量場
向量拉普拉斯算子英語Vector Laplacian   均值在無窮小的球內向量場的值不同的程度 向量場的向量拉普拉斯是向量場
拉普拉斯算子   對純量場  梯度運算後,再作散度運算 純量場的拉普拉斯是純量場

定理

同樣,也有幾個與這幾個相關的重要定理,將微積分基本定理拓展到了更高維度:

定理 表示 註解
梯度定理   梯度(向量)場中的曲線積分與它的標量場中兩個端點的差。
格林定理   平面內向量場中區域的標量旋度,等於向量場沿逆時針方向的封閉曲線的線積分。
斯托克斯定理     內向量場的旋度的曲面積分,等於向量場在曲面邊界上的線積分。
高斯散度定理       向量場的散度對體積的積分,等於穿過包圍體積的閉曲面通量的積分。

應用

線性近似

線性近似用幾乎相同的線性函數代替複雜函數。給定實值可微函數 ,對接近  ,可以用下式近似 

 

右式是 圖形在 處切線的平面方程。

最優化

對連續可微多變量函數,若其所有偏導數P點都為零(梯度為零),則P點是一個臨界點。臨界值是函數在臨界點上的值。

若函數光滑,或至少2次連續可微,則臨界點可能是局部極值鞍點。考慮二階導的黑塞矩陣特徵值,可以區分不同情形。

費馬引理,可微函數的局部極值都出現在臨界點上。因此,要找到局部極值,只需計算梯度的零點及當處的黑塞矩陣特徵值。

物理學與工程學

向量分析尤其適於研究

推廣

向量分析還可推廣到其他3-流形及高維空間。

不同3-流形

向量分析起初是在歐氏空間 中,不僅是3維實向量空間,還具有額外結構,即:由內積定義範數(給出長度概念),又引出角度與方向,方向又分左右手。這些結構產生了體積形式,以及在向量分析中常用的叉積

梯度與散度只需要內積,旋度和叉積還需要考慮坐標軸的手性。

若其他3維實向量空間有內積(或更一般的對稱非退化形式)核方向,向量分析就可在這些空間上定義;這比歐氏空間的同構數據要少,因為不需要坐標軸集(參照系),這反映了向量分析在旋轉(特殊正交群SO(3))下不變的事實。

更一般地說,向量分析可定義在任意3維有向黎曼流形,或更一般的偽黎曼流形上。這種結構就是每點的切空間都有內積與方向,更一般地說是有對稱非退化度量張量與方向。向量分析根據每點的切向量定義,所以有效。

其他維度

大多數分析結果都可以通過微分幾何機制輕鬆理解,向量分析是其子集。梯度、散度、梯度定理、散度定理、拉普拉斯算子(產生調和分析)可輕易推廣到其他維度,而旋度和叉積則不能直接推廣。

從一般觀點來看,(3維)向量分析中的各種場被統一視作k向量場:標量場是0-向量場,向量場是1-向量場,偽向量場是2-向量場,偽標量場是3-向量場。在更高維度中,還有更多類似的場(標量/向量/偽向量/偽標量對應0/1/n-1/n維,這在3維中詳盡無遺),因此不能只用(偽)標量和(偽)向量。

在任意維度中,假定一個非退化形式,標量函數的梯度是向量場,而向量場的散度是標量函數,但只有3維、7維[2](1維、0維是平凡的)中,才能定義叉積(其他維度的推廣或要n-1個向量才能得到一個向量,或要用李代數代替,即更一般的反對稱雙線性積)。總之,向量場的旋度是二重向量場,可解釋為無窮小旋轉的特殊正交李代數;但這不能視作向量場,因為維數不同——3維旋轉有3維,但4維旋轉有6維(n維中的旋轉有 維)。

向量分析有兩個重要的替代性推廣。第一個是幾何代數,用k向量場(3維及以下時,k向量場都可用標量函數或向量場識別,但更高維並非如此)。外積取代了叉積,可在所有維度中,由兩個向量場輸出一個二重向量場。這產生了作為向量空間上代數結構的克利福德代數(具有有向非退化形式)。幾何代數主要用於物理學等應用領域向更高維的推廣。

第二個運用微分形式k余向量場),在數學中有廣泛應用,尤常見於微分幾何幾何拓撲調和分析等領域,在有向偽黎曼流形上產生了霍奇理論。從這個角度看,梯度、旋度、散度分別對應0形式、1形式、2形式的外導數,而向量分析的關鍵定理都是斯托克斯定理一般形式的特例。

從這兩種推廣來看,向量分析隱式地標識了不同的數學對象,使表述更簡單,但底層的數學結構與推廣卻不那麼清晰。從幾何代數的角度來看,向量分析隱式地將k向量場與向量場與標量函數區分開來:0向量與3向量同標量有關,1向量和2向量同向量有關。從微分形式的角度來看,向量分析隱式地將k形式同標量場與向量場相聯繫:0形式、3形式與標量場有關,1形式、2形式與向量場有關。因此,舉例來說,旋度自然地將向量場或1形式作為輸入,將2向量場或2形式作為輸出(因此是偽向量場),然後將其解釋為向量場,而非直接從向量場映射到向量場,這在高維空間反映為旋度的輸出不是向量場。

參見

參考文獻

腳註

  1. ^ Galbis, Antonio; Maestre, Manuel. Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. 2012: 12. ISBN 978-1-4614-2199-3. 
  2. ^ Lizhong Peng & Lei Yang (1999) "The curl in seven dimensional space and its applications", Approximation Theory and Its Applications 15(3): 66 to 80 doi:10.1007/BF02837124

參考資料

外部連結

延伸閱讀