退化雙線性形式

對於一個在 F ,向量空間 V 中,V × VF雙線性形式B,如果V中存在一些非零的向量使得对於任意

則稱B是一个退化双线性形式。

非退化双线性形式

如果B是一个双线性形式,但不是退化双线性形式,則B是一个非退化双线性形式。这意味着如果对於任意 

 

 

非退化双线性形式常見的例子是内积辛形式对称的非退化双线性形式是内积的推广,它只要求映射 同构的,而不要求非負。例如,在其切空间上具有内积结构的流形是一個黎曼流形,而将條件放寬到对称的非退化双线性形式時,則只是一個伪黎曼流形

行列式

如果V是有限维的,而B是一个雙線性形式,則考慮V 的一組基底 ,定義矩陣A為

 

則B是退化双线性形式若且唯若矩阵A的行列式为零 – 也就是A是不可逆矩阵。

參見

參考資料