單調收斂定理

微積分的定理

在數學中,有許多定理稱為單調收斂定理(英語:Monotone convergence theorem);這裡我們介紹一些主要的例子。

單調實數序列的收斂性

定理

如果ak是一個單調的實數序列(例如ak ≤ ak+1),則這個序列具有極限(如果我們把正無窮大和負無窮大也算作極限的話)。當且僅當序列是有界的,這個極限是有限的。

證明

我們證明如果遞增序列 有上界,則它是收斂的,且它的極限為 

由於 非空且有上界,因此根據實數的最小上界公理 存在,且是有限的。現在,對於每一個 ,都存在一個 ,使得 ,否則  的一個上界,這與 為最小上界 的事實矛盾。於是,由於 是遞增的,對於所有的n > N,都有 ,因此根據定義, 的極限為 。證畢。

類似地,如果一個實數序列是遞減且有下界,則它的最大下界就是它的極限。

單調級數的收斂性

定理

如果對於所有的自然數jkaj,k都是非負實數,且aj,k ≤ aj+1,k,則(參見[1]第168頁):

 

勒貝格單調收斂定理

這個定理是前一個定理的推廣,也許就是最重要的單調收斂定理。

定理

設( X, A,   )為一個測度空間。若序列   為定義域是  ,對應域是   -可測單調遞增函數序列。也就是說  ,有

 

接着,設序列   的逐點極限為  。也就是說  

 

  會是  -可測函數,且:

 。(參見[2]第21.38節)

注意其積分值不一定是有限值,也就是左右兩邊可能都是無限大。

證明

我們首先證明f是 -可測函數。為此,只需證明區間[0,t]在f下的原像是X上的σ代數A的一個元素。設I為 的一個子區間。那麼:

 

另一方面,由於[0,t]是閉區間,因此:

 

所以:

 

注意可數交集中的每一個集合都是A的一個元素,這是因為它是一個波萊爾子集在 -可測函數 下的原像。由於根據定義,σ代數在可數交集下封閉,因此這便證明了f是 -可測的。需要注意的是,一般來說,任何可測函數的最小上界也是可測的。

現在我們證明單調收斂定理的餘下的部分。f是 -可測的事實,意味着表達式 是定義良好的。

我們從證明 開始。

根據勒貝格積分的定義,

 

其中SF是X上的 -可測簡單函數的交集。由於在每一個 ,都有 ,我們便有:

 

因此,由於一個子集的最小上界不能大於整個集合的最小上界,我們便有: 

右面的極限存在,因為序列是單調的。

我們現在證明另一個方向的不等式(也可從法圖引理推出),也就是說,我們來證明:

 

從積分的定義可以推出,存在一個非負簡單函數的非遞減序列gn,它幾乎處處逐點收斂於f,且:

 

只需證明對於每一個 ,都有:

 

這是因為如果這對每一個k都成立,那麼等式左端的極限也將小於或等於等式右端。

我們證明如果gk是簡單函數,且

 

幾乎處處,則:

 

由於積分是線性的,我們可以把函數 分拆成它的常數部分,化為 是σ代數A的一個元素B的指示函數的情況。在這種情況下,我們假設 是一個可測函數的序列,它在B的每一個點的最小上界都大於或等於一。

為了證明這個結果,固定 ,並定義可測集合的序列:

 

根據積分的單調性,可以推出對於任何的 ,都有:

 

根據 的假設,對於足夠大的n,任何B內的x都將位於 內,因此:

 

所以,我們有:

 

利用測度的單調性,可得:

 

 ,並利用這對任何正數 都正確的事實,定理便得證。

參見

注釋

  1. ^ J Yeh. Real analysis. Theory of measure and integration. 2006. 
  2. ^ Erik Schechter. 21.38. Analysis and Its Foundations. 1997.