简单函数

简单函数(英語:simple function)又稱單純函數,是实分析中只取有限個實值的可测函数

定义

集合   上有Σ-代数   ,若對函数   ,存在   ,使得:

 

其中   代表集合  指示函數,即:

 

  稱為簡單函數,也就是說,简单函数是可测集合(即   的元素)的指示函数的有限线性组合

範例

  • 半开区间[1,9)上的取整函数,它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。
  • 实直线上的狄利克雷函数,如果x是有理数,则函数的值为1,否则为0。

性质

根据定义,两个简单函数的和、差与积,以及一个简单函数与常数的积也是简单函数,因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

定理 — 集合   上有Σ-代数   ,任何非负,在  可測的   都會是某遞增且非負簡單函數序列的逐點極限。更進一步的,若  有界的,则此簡單函數序列是一致收敛 

證明

对每个正整數  ,把   分成  個區間,也就是取

  ,对于  

以及

 

然後定义可测集合

 ,对于  

則可對每個正整數   定義非負简单函数   如下

 

也就構成了一個非負遞增簡單函數序列  

這樣的話,取任意   , 都存在正整數   使得

 

這樣的話,只要   的話,都會存在正整數   使得

 

所以有

 

再考慮到,對任意正實數   ,都存在正整數   使得

 

所以總結一下,對任意正實數  ,取正整數   ,就會有

 

所以簡單函數序列   的確會逐点收敛至  

注意到若   是有界的,那存在一個跟點   選取無關的正整數   使得

 

那這樣的話,對任意正實數  ,取正整數  ,就會得到一致收斂。 

简单函数的积分

测度   定义在  Σ-代数   上,若簡單函數   可表達為

 

  於某個   上,對測度  勒贝格积分定義為:

 

参考文献

  • J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
  • S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
  • W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
  • H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.