分塊矩陣

在數學的矩陣理論中，一個分塊矩陣或是分段矩陣就是將矩陣分割出較小的矩形矩陣，這些較小的矩陣就稱為區塊。換個方式來說，就是以較小的矩陣組合成一個矩陣。分塊矩陣的分割原則是以水平線和垂直線進行劃分。分塊矩陣中，位在同一行（列）的每一個子矩陣，都擁有相同的列數（行數）。

通過將大的矩陣通過分塊的方式劃分，並將每個分塊看做另一個矩陣的元素，這樣之後再參與運算，通常可以讓計算變得清晰甚至得以大幅簡化。例如，有的大矩陣可以通過分塊變為對角矩陣或者是三角矩陣等特殊形式的矩陣。

範例

如下矩陣

$P={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}$

可以分成四個 2×2 區塊

$P_{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},P_{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},P_{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},P_{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}$

分塊後的矩陣可以寫作 $P={\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\\\end{bmatrix}}$

分塊矩陣乘法

一個分塊的矩陣乘法可以僅用包含算符的子矩陣來表述。 給定一個$(m\times p)$ 矩陣 $\mathbf {A}$ 有 $q$ 行$s$ 列

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}$

另外 一個 $(p\times n)$ 矩陣 $\mathbf {B}$ 有 $s$ 行且 $r$ 列

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}},$

矩陣乘積

$\mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B}$

可被分成塊來計算，矩陣$\mathbf {C}$ 是 $(m\times n)$ 的矩陣有 $q$ 行 $r$ 列，你的矩陣 $\mathbf {C}$ 中的分割矩陣可以在乘法中被相乘:

$\mathbf {C} _{\alpha \beta }=\sum _{\gamma =1}^{s}\mathbf {A} _{\alpha \gamma }\mathbf {B} _{\gamma \beta }$