分块矩阵

在数学的矩阵理论中，一个分块矩阵或是分段矩阵就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。

通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是三角矩阵等特殊形式的矩阵。

范例

如下矩阵

$P={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}$

可以分成四个 2×2 区块

$P_{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},P_{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},P_{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},P_{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}$

分块后的矩阵可以写作 $P={\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\\\end{bmatrix}}$

分块矩阵乘法

一个分块的矩阵乘法可以仅用包含算符的子矩阵来表述。 给定一个$(m\times p)$ 矩阵 $\mathbf {A}$ 有 $q$ 行$s$ 列

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}$

另外 一个 $(p\times n)$ 矩阵 $\mathbf {B}$ 有 $s$ 行且 $r$ 列

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}},$

矩阵乘积

$\mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B}$

可被分成块来计算，矩阵$\mathbf {C}$ 是 $(m\times n)$ 的矩阵有 $q$ 行 $r$ 列，你的矩阵 $\mathbf {C}$ 中的分割矩阵可以在乘法中被相乘:

$\mathbf {C} _{\alpha \beta }=\sum _{\gamma =1}^{s}\mathbf {A} _{\alpha \gamma }\mathbf {B} _{\gamma \beta }$