七方偏方面体

几何学中,七方偏方面体是一个由14个全等鸢形组成的多面体,是十四面体的一种[1],同时也是鸢形多面体,是偏方面体系列的第五个成员。

七方偏方面体
七方偏方面体
类别偏方面体
对偶多面体七角反棱柱在维基数据编辑
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node_fh 2x node_fh 14 node 
node_fh 2x node_fh 7 node_fh 
康威表示法dA7在维基数据编辑
性质
14
28
顶点16
欧拉特征数F=14, E=28, V=16 (χ=2)
组成与布局
面的种类14个筝形
面的布局
英语Face configuration
V7.3.3.3
对称性
对称群D7d, [2+,14], (2*7), 28阶
旋转对称群
英语Rotation_groups
D7, [2,7]+, (227), 14阶
特性
凸、面可递
图像

七角反棱柱
对偶多面体

七方偏方面体是一个等面图形,即面可递多面体,其所有面都相等。更具体来说,其不仅所有面都全等,且面与面必须能在其对称性上传递,也就是说,面必须位于同一个对称性轨道内。这种凸多面体是能做成公正的骰子的形状。[2]因此其可以做成一种十四面骰子[3]

性质

七方偏方面体共由14个、28条和16个顶点组成。组成七方偏方面体的14个面都是鸢形,而组成七方偏方面体的16个顶点有2个是7个鸢形的公共顶点,另外14个是3个鸢形的公共顶点。[4]

对称性

七方偏方面体的对称性是28阶的D7d二面体群。 其旋转群为14阶的D7群。

变体

从D7d群(28阶)到D7(14阶)的对称性有一个自由度能将全等的鸢形转变为具有3种边长的全等四边形,称为扭曲鸢形,其所形成的偏方面体称为扭曲偏方面体。

如果围绕上下两顶点的鸢形不是扭曲的,但是具有两种形状,则这个七方偏方面体只能具有循环的14阶C7v对称性,称为不等或不对称的七方偏方面体。其对偶多面体是一个等面与底面半径不相等的七角反角柱。

如果组成七方偏方面体的鸢形是扭曲的,且有两种形状,则这个七方偏方面体只能具有循环的7阶C7对称性,称为不等面扭曲七方偏方面体。

等二面角七方偏方面体

由于七方偏方面体的对偶多面体正七角反棱柱是一个均匀多面体,因此直接套用对偶变换正七角反棱柱会形成一个所有二面角相等的七方偏方面体。这个七方偏方面体若对偶变换的原像之边长能够被确定,则产生的七方偏方面体之边长、体积和顶点座标也能够被唯一确定。

二面角

等二面角七方偏方面体的二面角为:[4]

 

其中,反馀弦内的数值为方程式 的正实根。[4]

尺寸

若对偶变换的原像之边长为单位长,则对应的七方偏方面体之鸢形面的短边长为:[4]

 

鸢形面的长边长为:[4]

 

内切球半径为:[4]

 

体积为:[4]

 

相关多面体

偏方面体家族
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球面投影
                 

参考文献

  1. ^ Verhetsel, Kilian and Pellerin, Jeanne and Remacle, Jean-François. Finding hexahedrizations for small quadrangulations of the sphere. ACM Transactions on Graphics (TOG) (ACM New York, NY, USA). 2019, 38 (4): 1–13. 
  2. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822, doi:10.2307/3619822 .
  3. ^ Shapes. aleakybos.ch. [2022-12-30]. (原始内容存档于2022-12-30). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Dipyramids & Trapezohedra: Heptagonal Trapezohedron. dmccooey.com. [2022-12-30]. (原始内容存档于2019-09-29).