非凸大斜方截半二十面體
在幾何學中，非凸大斜方截半二十面體是一種非凸均勻多面體[5]，由62個面、120條邊和60個頂點組成[6]，其索引為U67，對偶多面體為大鳶形六十面體[2]，具有二十面體群對稱性，[6][7]可以視為大十二面截半二十面體的刻面多面體。[8]在施萊夫利符號中，非凸大斜方截半二十面體可以表示為t0,2{5⁄3,3}或[1]:162[2]，在考克斯特—迪肯符号中可以表示為
，在威佐夫記號中可以表示為3 5⁄3 | 2[3][4][2]。
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| 類別 | 均勻星形多面體 | |||
|---|---|---|---|---|
| 對偶多面體 | 大鳶形六十面體 | |||
| 識別 | ||||
| 名稱 | 非凸大斜方截半二十面體 great rhombicosidodecahedron uniform great rhombicosidodecahedron nonconvex great rhombicosidodecahedron quasirhombicosidodecahedron | |||
| 參考索引 | U67, C84, W105 | |||
| 鮑爾斯縮寫 | qrid | |||
| 數學表示法 | ||||
| 施萊夫利符號 | t0,2{5⁄3,3} [1]:162[2] | |||
| 威佐夫符號 | 3 5⁄3 | 2[3][4][2] | |||
| 性質 | ||||
| 面 | 62 | |||
| 邊 | 120 | |||
| 頂點 | 60 | |||
| 歐拉特徵數 | F=62, E=120, V=60 （χ=2） | |||
| 組成與佈局 | ||||
| 面的種類 | 20個正三角形 30個正方形 12個正五角星 | |||
| 頂點圖 | 3.4.5/3.4 | |||
| 對稱性 | ||||
| 對稱群 | Ih, [5,3], *532 | |||
| 圖像 | ||||
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非凸大斜方截半二十面體與小斜方截半二十面体拓樸同構[8]，其骨架圖在拓樸學上是等價的[9]。
這個多面體與凸大斜方截半二十面体同名。
性質
非凸大斜方截半二十面體共有62個面、120條邊和60個頂點。[6]在其62個面中，有20個正三角形、30個正方形和12個正五角星[5]:134[10][11]，在這些面中，共有12個非凸面和12個自相交面[4]。若排除互相相交與自相交面，作為一個簡單多面體則其外部面共有980個。[12]
非凸大斜方截半二十面體的歐拉示性數為：
- V-E+F = 60 - 120 + (20+12+30) = 2
因此這個多面體同胚於球體。[10]
其60個頂點每個頂點都是2個正方形、一個五角星和一個正三角形的公共頂點，並依照五角星、正方形、三角形、正方形的順序在頂點周圍來列，並形成了一個交叉四邊形，在頂點圖中，這樣的頂角可以用[5/3,4,3,4]或來表示[8]
二面角
非凸大斜方截半二十面體有兩種二面角，分別為正方形面與三角形面的二面角以及正方形與五角星的二面角。
正方形與五角星的二面角約為58.28度[8]或視為反向相接的301.71747度[13]：
尺寸
若非凸大斜方截半二十面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：[14]:1250[2]
分類
非凸大斜方截半二十面體的頂點圖為交叉梯形且具備點可遞的特性，同時，其存在自相交的面，因此非凸大斜方截半二十面體是一種自相交擬擬正多面體（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交擬擬正多面體一共有12種[15]，除了小雙三角十二面截半二十面體外，其餘由阿爾伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）於1881年發現並描述。[16]
 小立方立方八面體 |
 大立方截半立方體 |
 非凸大斜方截半立方體 |
 小十二面截半二十面體 |
 大十二面截半二十面體 |
 小雙三角十二面截半二十面體 |
 大雙三角十二面截半二十面體 |
 二十面化截半大十二面體 |
 小二十面化截半二十面體 |
 大二十面化截半二十面體 |
 斜方截半大十二面體 |
非凸大斜方截半二十面體 |
相關多面體
非凸大斜方截半二十面體與截角大十二面體以及6和12複合五角柱共用相同的頂點佈局。同時，其亦與大十二面截半二十面體和大斜方十二面體共用相同的邊佈局。[8]
| 非凸大斜方截半二十面體 |
大十二面截半二十面體 |
 大斜方十二面體 |
 截角大十二面體 |
 六複合五角柱 |
 十二複合五角柱 |
參見
參考文獻
- ^ 1.0 1.1 Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Weisstein, Eric W. (编). Uniform Great Rhombicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ 3.0 3.1 George W. Hart. Uniform Polyhedra. 1996 [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-09-19）.
- ^ 4.0 4.1 4.2 Vladimir Bulatov. great rhombicosidodecahedron. Polyhedra Collection. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-02-28）.
- ^ 5.0 5.1 Gorini, C.A. The Facts on File Geometry Handbook. Facts on File science library. Facts On File, Incorporated. 2003 [2022-07-27]. ISBN 9781438109572. （原始内容存档于2022-07-27）.
- ^ 6.0 6.1 6.2 Maeder, Roman. 67: great rhombicosidodecahedron. MathConsult. [2022-07-27]. （原始内容存档于2020-02-17）.
- ^ Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #72. harel.org.il. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-10-22）.
- ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 Richard Klitzing. qrid, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-09-21）.
- ^ B. D. S. “DON” MCCONNELL. Spectral Realizations of Graphs (PDF). daylateanddollarshort.com. [2022-07-27]. （原始内容 (PDF)存档于2022-04-06）.
- ^ 10.0 10.1 David A. Richter. Great Dirhombicosidodecahedron. wmich.edu. [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-10-18）.
- ^ Polyhedron Category 4: Trapeziverts. polytope.net. （原始内容存档于2021-10-19）.
- ^ Robert Webb. Great Rhombicosidodecahedron. software3d.com. [2022-07-30]. （原始内容存档于2022-08-22）.
- ^ 13.0 13.1 David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Uniform Great Rhombicosidodecahedron. [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-05-04）.
- ^ Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. 2002. ISBN 9781420035223.[失效連結]
- ^ David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-07-31]. （原始内容存档于2022-08-22）.
- ^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.