逆矩阵
逆矩陣(inverse matrix),又稱乘法反方陣、反矩陣。在线性代数中,給定一个n 階方陣,若存在一n 階方陣,使得,其中为n 階单位矩阵,則稱是可逆的,且是的逆矩陣,記作。
只有方陣(n×n 的矩陣)才可能有逆矩陣。若方阵的逆矩阵存在,则称为非奇异方阵或可逆方阵。
與行列式類似,逆矩陣一般用於求解聯立方程組。
求法
伴随矩阵法
注意: 中元素的排列特点是 的第 列元素是 的第 行元素的代数餘子式。要求得 即为求解 的余因子矩阵的转置矩阵。
初等变换法
如果矩阵 和 互逆,则 。由条件 以及矩阵乘法的定义可知,矩阵 和 都是方阵。再由条件 以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为 。也就是说,这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是 方阵,且 换而言之, 与 均为满秩矩阵)。换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵。
因为对矩阵 施以初等行变换(初等列变换)就相当于在 的左边(右边)乘以相应的初等矩阵,所以我们可以同时对 和 施以相同的初等行变换(初等列变换)。这样,当矩阵 被变为 时, 就被变为 的逆阵 。
性质
广义逆阵
广义逆阵(Generalized inverse)又称伪逆,是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔-彭若斯广义逆,它是由E·H·摩爾和羅傑·潘洛斯分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。