萊布尼茨函數

在仿射幾何和歐氏幾何中，萊布尼茨向量和標量函數是把點對應到向量或數量的函數。這種函數和重心關係密切；用重心可以給出函數的簡潔形式。

萊布尼茨向量函數

考慮仿射空間 $E$ 和相伴的向量空間 $V$ 。設 $(A_{i})_{i=1\cdots n}$ 是 $n$ 點的族， $(a_{i})_{i=1\cdots n}$ 是 $n$ 數量的族。與系統 $\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}$ 相伴的萊布尼茨向量函數是從 $E$ 到 $V$ 的映射，把點 $M$ 對應到向量 ${\vec {f}}(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {MA_{i}}}$ 。

設係數和 $\sum _{i=1}^{n}a_{i}$ 為零，那麼函數是常值。如果有一個係數非零（例如 $a_{1}$ ），這常值等於 $a_{1}{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}$ ，其中 $G_{1}$ 是系統 $\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=2\cdots n}\right\}$ 的重心。

設係數和非零，函數可化簡成

{\vec {f}}(M)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right){\overrightarrow {MG}}

這個性質使得多個向量的線性組合可以藉由重心化簡成一個向量。如果向量空間是有限維，由此可以給出重心的座標。

其實 ${\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}{\vec {f}}(O)={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {OA_{i}}}$ 。

把上式轉為座標就是

x_{G,k}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{A_{i},k}

萊布尼茨標量函數

考慮歐幾里得仿射空間 $E$ 和相伴的域 $\mathbb {K}$ 。設 $(A_{i})_{i=1\cdots n}$ 是 $n$ 點的族， $(a_{i})_{i=1\cdots n}$ 是 $n$ 數量的族。與系統 $\left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}$ 相伴的萊布尼茨標量函數，是從 $E$ 到 $\mathbb {K}$ 的映射，把點M對應到數量 $f(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2}$ 。