埃尔米特矩阵

埃尔米特矩阵(英語:Hermitian matrix,又译作厄米特矩阵厄米矩阵),也稱伴隨矩陣,是共轭對稱方陣。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的复共轭。例如就是一个埃尔米特矩阵。

线性代数
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵

显然,埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数,其特征值也是实数。对于实矩阵,如果它是对称矩阵,则它也满足埃尔米特矩阵的定义,即,实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。

定义

对于矩阵 ,若对A中任意元素  有:

 

其中 共轭算子,则记作 ,其中 为共轭转置,称A为埃尔米特矩阵。

性质

  • AB是埃尔米特矩阵,那么它们的和A+B也是埃尔米特矩阵;而只有在AB满足交换性(即AB = BA)时,它们的积才是埃尔米特矩阵。
  • 可逆的埃尔米特矩阵A逆矩阵A-1仍然是埃尔米特矩阵。
  • 如果A是埃尔米特矩阵,对于正整数nAn是埃尔米特矩阵。
  • 方阵C与其共轭转置的和 是埃尔米特矩阵,
  • 方阵C与其共轭转置的差 斜埃尔米特矩阵
  • 任意方阵C都可以用一个埃尔米特矩阵A与一个斜埃尔米特矩阵B的和表示:
 
  • 埃尔米特矩阵是正规矩阵,因此埃尔米特矩阵可被对角化,而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的特征值都是实的,而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交,因此可以在这些特征向量中找出一组Cn正交基
  • n-阶埃尔米特矩阵的元素构成维数n2实向量空间,因为主对角线上的元素有一个自由度,而主对角线之上的元素有两个自由度。
  • 如果埃尔米特矩阵的特征值都是正数,那么这个矩阵是正定矩阵,若它们是非负的,则这个矩阵是半正定矩阵

埃尔米特序列

埃尔米特序列(亦或埃尔米特向量)指满足下列条件的序列ak(其中k = 0, 1,…, n):

 

n偶数,则an/2实数

实数序列的离散傅里叶变换是埃尔米特序列。反之,一个埃尔米特序列的逆离散傅里叶变换是实序列。

参见

参考资料