信號-量化雜訊比

在信號量化時，會產生量化誤差，信號－量化雜訊比（英語：Signal-to-quantization-noise ratio，SQNR或SN_qR）是信號能量對量化雜訊能量之比值，用以度量量化之效能，通常使用分貝表示。

信號－量化雜訊比公式由通用信噪比公式导出:

$\mathrm {SNR} ={\frac {3\times 2^{2n}}{1+4P_{e}\times (2^{2n}-1)}}{\frac {m_{m}(t)^{2}}{m_{p}(t)^{2}}}$

其中：

$P_{e}$是接收到比特差錯的概率

$m_{p}(t)$为峰值消息信号电平

$m_{m}(t)$为平均消息信号电平

由于SQNR适用于量化信号，因此SQNR公式中的信号为离散时间数字信号，所有我们将使用数字化信号$x(n)$代替$m(t)$。对于$N$个量化层级的取样，每个取样$x$需要$\nu =\log _{2}N$个位元。$x$中值的分布可以用概率密度函数$f(x)$来表示。任意$x$的最大幅度值用$x_{max}$表示。

由于信號-量化雜訊比和一般的信噪比一样，是信号功率与某噪声功率的比值，因此可以用如下公式计算：

$\mathrm {SQNR} ={\frac {P_{signal}}{P_{noise}}}={\frac {E[x^{2}]}{E[{\tilde {x}}^{2}]}}$

信号功率为：

${\overline {x^{2}}}=E[x^{2}]=P_{x^{\nu }}=\int _{}^{}x^{2}f(x)dx$

量化噪声功率可以表示为：

$E[{\tilde {x}}^{2}]={\frac {x_{max}^{2}}{3\times 4^{\nu }}}$

可求出：

$\mathrm {SQNR} ={\frac {3\times 4^{\nu }\times {\overline {x^{2}}}}{x_{max}^{2}}}$

当SQNR需要以分贝为单位表示时，一个有意义的近似值是：

$\mathrm {SQNR} |_{dB}=P_{x^{\nu }}+6.02\nu +4.77$

其中$\nu$是量化取样的位元数，$P_{x^{\nu }}$是上面所计算的信号功率。从这个公式不难看出，当量化取样的位元数增加1时，SQNR将会增加大约6（$20\times log_{10}(2)$）分贝。

参考书籍

• B. P. Lathi , Modern Digital and Analog Communication Systems (3rd edition), Oxford University Press, 1998

外部链接

• Signal to quantization noise in quantized sinusoidal （页面存档备份，存于互联网档案馆） - Analysis of quantization error on a sine wave