高斯散度定理

向量分析定理

高斯公式(Gauss's law),又稱為高斯通量理論(Gauss' flux theorem)、散度定理(Divergence Theorem)、高斯散度定理(Gauss's Divergence Theorem)[1]高斯-奧斯特洛格拉德斯基公式高-奧公式,是指在向量分析中,一個把向量場通過閉合曲面的流動(即通量)與曲面內部的向量場的表現聯繫起來的定理。該定理與斯托克斯定理(Stokes' Theorem)是向量中兩大重要定理[2]

更加精確地說,高斯公式說明向量場穿過曲面的通量,等於散度在曲面圍起來的體積上的積分。直觀地,所有源點的和減去所有匯點的和,就是流出這區域的淨流量。

高斯公式在工程數學中是一個很重要的結果,特別是靜電學流體力學

在物理和工程中,散度定理通常運用在三維空間中。然而,它可以推廣到任意維數。在一維,它等價於分部積分法

定理

 
區域V,以帶有法線n的面S = ∂V為邊界。
 
散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量,例如,任何左邊的曲面;散度定理不可以用來計算穿過具有邊界的曲面,例如,任何右邊的曲面。在這圖內,曲面以藍色顯示,邊界以紅色顯示。

設空間閉區域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍起來的三維區域,函數  上具有一階連續偏導數,則有[3]

     

     

這裡  的邊界(boundary),  在點 處的單位法向量的方向餘弦

這兩個公式都叫做高斯公式,不過這兩公式僅僅是表達方式不同,其實是相同的定理,這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於  ,其中   是曲面   的向外單位法向量。

這個定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

用散度表示

高斯公式用散度表示為:[4]

     

其中Σ是空間閉區域Ω的邊界曲面,而   是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

用向量表示

V代表有一簡單閉曲面S為邊界的體積, 是定義在V中和S上連續可微的向量場。如果 是外法向向量面元,則

 

推論

  • 對於純量函數g和向量場F的積,應用高斯公式可得:
 
  • 對於兩個向量場 的向量積,應用高斯公式可得:
 
  • 對於純量函數f和非零常向量的積,應用高斯公式可得:
 
  • 對於向量場F和非零常向量的向量積,應用高斯公式可得:
 

例子

 
例子所對應的向量場。注意,向量可能指向球面的內側或者外側。

假設我們想要計算

    

其中S是一個單位球面,定義為

 

F向量場

 

直接計算這個積分是相當困難的,但我們可以用高斯公式來把它簡化:

 

其中W是單位球:

 

由於函數yz奇函數,我們有:

 

因此:

    

因為單位球W體積4π/3.

二階張量的高斯公式

二階張量的高斯公式實際上是上面的高斯公式的推論。為了使內容完整,首先簡要地介紹三維歐幾里得空間上的二階張量(詳見並矢張量張量積)以及相關的概念和記號。在這裡,向量和向量場用黑斜體字母表示,張量用正黑體字母表示。

  1. 兩個向量  並排放在一起所形成的量 被稱為向量  並矢並矢張量。要注意,一般來說, 
  2.  的充分必要條件是  
  3. 二階張量就是有限個並矢的線性組合。
  4.  分別線性地依賴於  
  5. 二階張量 和向量 的縮併 以及   都是線性的。
  6. 特別是,當 時,
 

所以,一般說來, 

下面舉一個例子:用二階張量及其與向量的縮併來重新寫  

 

我們還用到二階張量 轉置 (又可以記為 ),定義如下:

  1.  仍然是一個二階張量,並且線性地依賴於 
  2.  

定理: 是三維歐幾里得空間中的一個有限區域 是它的邊界曲面,  的外法線方向上的單位向量 是定義在 的某個開鄰域上的 連續的二階張量場,  的轉置,則

 

證明:下面以第二個式子為例進行證明。令第二個式子的左邊為 ,則

 

接下來利用向量場的高斯公式,可得

 

於是

 

至此證畢。

參閱

參考文獻

  1. ^ UPSC Combined Geo-Scientist And Geologist exam 2020: Check application process, exam dates, syllabus, paper pattern, other details頁面存檔備份,存於網際網路檔案館).The Indian Express.September 22, 2019.
  2. ^ 提要251:第一個重要的矢量定理--散度定理(Divergence Theorem)頁面存檔備份,存於網際網路檔案館).中華大學.2011-12-22.
  3. ^ 同濟大學數學系 編. 高等數學(第六版)(下冊). 北京: 高等教育出版社, 2007
  4. ^ 謝樹藝編. 高等學校教材•工程數學:向量分析與場論(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005