鞅表示定理

概率論中，鞅表示定理指出，相對於布朗運動產生的過濾可測隨機變量可以用相對於布朗運動的伊藤積分來表示。

定理僅指出了表示的存在，但沒有說明如何找到。許多情況下，可以用馬利亞萬積分確定表示的形式。

類似定理也存在於由跳躍過程（如馬爾可夫鏈）產生的濾波上的鞅。

表達

令$B_{t}$為標準過濾概率空間$(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},P)$上的布朗運動，並令${\mathcal {G}}_{t}$為$B$生成的強化濾波。若X是關於${\mathcal {G}}_{\infty }$的平方可積隨機變量，則存在關於${\mathcal {G}}_{t},$的可預測過程C，使

$X=E(X)+\int _{0}^{\infty }C_{s}\,dB_{s}.$

因此

$E(X|{\mathcal {G}}_{t})=E(X)+\int _{0}^{t}C_{s}\,dB_{s}.$

在金融學的應用

鞅表示定理可用來確定對沖策略的存在性。假設$\left(M_{t}\right)_{0\leq t<\infty }$是Q鞅過程，其波動性$\sigma _{t}$非零。則若$\left(N_{t}\right)_{0\leq t<\infty }$是任何其他Q鞅過程，就存在${\mathcal {F}}$可料過程$\varphi$，對零測集是唯一的，這樣$\int _{0}^{T}\varphi _{t}^{2}\sigma _{t}^{2}\,dt<\infty$的概率為1，且N可以寫成：

$N_{t}=N_{0}+\int _{0}^{t}\varphi _{s}\,dM_{s}.$

複製策略定義為

• 在t時刻持有$\varphi _{t}$單位股票，且
• 持有$\psi _{t}B_{t}=C_{t}-\varphi _{t}Z_{t}$單位債券。

其中$Z_{t}$是債券價格貼現到時間$t$時的股價，$C_{t}$是期權在時間$t$時的預期收益。

在到期日T，投資組合的價值為：

$V_{T}=\varphi _{T}S_{T}+\psi _{T}B_{T}=C_{T}=X$

且很容易檢查出該策略是自負盈虧的：投資組合價值的變化只取決於資產價格變化$\left(dV_{t}=\varphi _{t}\,dS_{t}+\psi _{t}\,dB_{t}\right)$。

另見

• 反向隨機微分方程

參考文獻

• Montin, Benoît. (2002) "Stochastic Processes Applied in Finance"
• Elliott, Robert (1976) "Stochastic Integrals for Martingales of a Jump Process with Partially Accessible Jump Times", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete, 36, 213–226