非互補歐拉商數
非互補歐拉商數（noncototient）是指一個正整數n，不存在任一個整數m使下式成立：
其中表示歐拉函數（totient function），是小於m的正整數中和m互質整數的個數。稱為m的互補歐拉商數（cototient）（OEIS數列A051953）。例如小於6的正整數中，和6互質的只有一個數字5，因此6的歐拉函數為1，而互補歐拉商數為6-1=5。
而非互補歐拉商數就是指不在互補歐拉商數值域內的整數，若正整數n是非互補歐拉商數，表示所有整數m的互補歐拉商數都不等於n。
頭幾個非互補歐拉商數是：
- 10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520 （OEIS數列A005278）。
另外，n的互補歐拉商數是
- 0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48, ... （OEIS數列A051953）
目前已知的非互補歐拉商數均為偶數，因此猜想所有的非互補歐拉商數均為偶數，猜想中有用到有經過修改的哥德巴赫猜想：若偶數n可以表示為二個相異質數p及q的和，則
依照哥德巴赫猜想，所有大於6的偶數都可以表示為二個相異質數p及q的和，此偶數減1所得的奇數就是pq的互補歐拉商數，因此很可能所有大於5的奇數都是互補歐拉商數，而未考慮到的奇數有1,3,5，而, ，這些數也都是互補歐拉商數，因此很可能所有的非互補歐拉商數均為偶數。
Erdős和Sierpinski曾猜想存在有無限多個非互補歐拉商數，後來Browkin和Schinzel在1995年證實此一猜想，他們證明無窮數列的每一項都是非互補歐拉商數，Flammenkamp和Luca在2000年提出了其他形式大致接近的範例。
相關條目
參考資料
- Browkin, J.; Schinzel, A. On integers not of the form n-φ(n). Colloq. Math. 1995, 68 (1): 55–58. Zbl 0820.11003.
- Flammenkamp, A.; Luca, F. Infinite families of noncototients. Colloq. Math. 2000, 86 (1): 37–41. Zbl 0965.11003.
- Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004: 138–142. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.