霍赫希爾德同調

數學中,霍赫希爾德同調Hochschild homology)是環上結合代數同調論。對某些函子也有一個霍赫希爾德同調。這是以德國數學家格哈德·霍赫希爾德德語Gerhard Hochschild(Gerhard Hochschild)冠名的。

代數的霍赫希爾德同調之定義

k 是一個環,A 是一個結合 k-代數,M 是一個 A-雙模。我們記 An Ak 上的 n張量積。給出霍赫希爾德同調的鏈復形

 

邊緣算子 di 定義為

 
 
 

這裡對所有 1 ≤ inai 屬於 A,而 mM。如果我們令

 

b ° b = 0,所以 (Cn(A,M), b) 是一個鏈復形,叫做霍赫希爾德復形,它的同調是 A 係數取 M霍赫希爾德同調

注釋

映射 di 是使 Cn(A,M) 成為 k-模範疇中的單純對象面映射face map英語face map),也就是一個函子 Δok-mod,這裡 Δ單純範疇simplicial category英語simplicial category)而 k-mod 是 k-模範疇。這裡 Δo 是 Δ 的反範疇退化映射degeneracy map英語degeneracy map)由 si(a0 ⊗ ··· ⊗ an) = a0 ⊗ ··· ai ⊗ 1 ⊗ ai+1 ⊗ ··· ⊗ an 定義。霍赫希爾德同調是這個單純模的同調。

函子的霍赫希爾德同調

單純圓周 S1 是有限帶基點集合範疇 Fin* 中一個單純對象,即一個函子 ΔoFin*。從而,如果 F 是一個函子 F: Fink-mod,通過將 FS1 複合,我們得到一個單純模

 

這個單純模的同調是函子 F 的霍赫希爾德同調。如上交換代數的霍赫希爾德同調是當 FLoday 函子的特例。

Loday 函子

有限帶基點集合範疇的一個骨架由對象

 

給出,這裡 0 是基點,而態射是保持基點的態射。令 A 是一個交換 k-代數,M 是一個對稱 A-雙模。Loday 函子 L(A,M) 作用在 Fin* 中的對象由

 

給出。態射

 

送到態射 f*

 

這裡

 

bj = 1 如果 f −1(j) = ∅。

代數的霍赫希爾德同調之另一描述

一個交換代數 A 的係數取一個對稱 A-雙模 M 的霍赫希爾德同調是與複合

 

相伴的同調,這個定義與上面的定義相同。

參考文獻

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