雙線性形式

在域 F 中,向量空間 V雙線性形式指的是一個V × VF 上的線性函數 B, 滿足:

,映射:

都是線性的。這個定義也適用於交換環,這時線性函數要改為模同態

注意一個雙線性形式是特別的雙線性映射

坐標表示法

如果V是n維向量空間,設 V的一組。定義  階的矩陣A使得 。當  的矩陣xy表示向量uv時,雙線性形式B可表示為:

 

考慮另一組基   ,其中S是一個可逆的  階矩陣(基底轉換矩陣),則雙線性形式在 下的矩陣 的形式為:

 

對偶空間映射

V的每一個雙線性形式B都定義了一對由V射到它的對偶空間V*的線性函數。 定義 

 
 

常常記作:

 
 

這裡的(–)是放變量的位置。

如果 V是有限維空間的話,V和它的雙對偶空間V**是同構的,這時B2B1 的轉置映射(如果V是無限維空間,B2限制在VV**的像下的部分是B1 的轉置映射)。 定義B的轉置映射為雙線性形式:

 

如果 V是有限維空間,B1B2 的秩相等。如果他們的秩等於V的維數的話,B1B2 就是由VV*的同構映射(顯然B1是同構若且唯若B2 是同構),此時,B非退化的。實際上在有限維空間裡,這常常作為非退化的定義:B非退化的若且唯若

 

鏡像對稱性和正交性

雙線性形式 B : V × VF鏡像對稱的若且唯若:

 
有了鏡像對稱性,就可以定義正交:兩個向量v和w關於一個鏡像對稱的雙線性形式正交若且唯若:
 
一個雙線性形式的是指與所有其他向量都正交的向量的集合。一個矩陣表示為x的向量v屬於雙線性形式的若且唯若 (等價於 ),根一般是V的子空間,

當A是非奇異矩陣,即當B是非退化時,根都是零子空間{0}。

設W是一個子空間,定義 

B是非退化時,映射 是雙射,所以 的維數等於dim(V)-dim(W)。

可以證明,雙線性形式B鏡像對稱的若且唯若它是以下兩者之一:

  • 對稱的:    
  • 交替(alternating)的:    

每個交替形式都是斜對稱(skew-symmetric)(或稱反對稱(antisymmetric))的,只要展開

B(v+w,v+w)就可看出。

F特徵不為2時,逆命題也是真的。斜對稱的形式必定交替。然而,當char(F)=2時,斜對稱就是對稱,因此不全是交替的。

一個雙線性形式是對稱的(反對稱的)若且唯若它對應的矩陣是對稱的(反對稱的)。一個雙線性形式是交替的若且唯若它對應的矩陣是反對稱的,且主對角線上都是零。(在F特徵不為2時的情況下)

一個雙線性形式是對稱的若且唯若  相等,是旋鈕對稱的若且唯若 。char(F) ≠ 2 時,一個雙線性形式可以按成對稱和反對稱部分分解:

 

其中B* 是B 的轉置映射。

不同空間的推廣

這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形:

B: V × WF.

此時仍有從 VW 的對偶、及從 WV 的對偶的映射。當 V, W 皆有限維,則只要其中之一是同構,另一個映射也是同構。在此情況下 B 稱作完美配對

張量積關係

張量積泛性質  上的雙線性形式一一對映至線性映射  :若    上的雙線性形,則相應的映射由下式給出

 

所有從    的線性映射構成   的對偶空間,此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素:

 

同理,對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 S2V* 的元素,而交代雙線性形式則可想成二次外冪 Λ2V* 的元素。

參見

外部連結