阿貝爾判別法

阿貝爾判別法(Abel test)是一個用於判斷無窮級數是否收斂的方法。阿貝爾判別法有兩種不同的形式,一個是用來判斷實數項級數的收斂,另一個是用來判斷複數項級數的收斂。

實數項級數的阿貝爾判別法

給定兩個實數數列  ,如果數列滿足

  •  收斂
  •  單調有界

則級數

 

收斂。

複數項級數的阿貝爾判別法

一個相關的審斂法,也稱為阿貝爾判別法,通常用來判斷冪級數收斂圓的邊界上的收斂性。如果

 

而級數

 

在|z| < 1是收斂,而在|z| > 1時發散,係數{an}是正的實數,當n > m時單調遞減並收斂於零,則f(z)的冪級數在單位圓上處處收斂,除了z = 1以外。當z = 1時,不能使用阿貝爾判別法,所以那個點的收斂性必須另外討論。注意,利用變量代換ζ = z/R,阿貝爾判別法也可以用來判斷收斂半徑R ≠ 1的冪級數的收斂性。[1]

證明

假設z是單位圓上的一個點,z ≠ 1。則

 

所以,對於任何兩個正整數p > q > m,我們有

 

其中SpSq是部分和:

 

但是,由於|z| = 1,而當n > m時,an是單調遞減的正實數,我們又有

 

現在我們可以使用柯西判別法來證明f(z)的冪級數在z ≠ 1時收斂,因為sin(½θ) ≠ 0是一個定值,而我們可以通過選擇足夠大的q,來使aq+1小於任何給定的ε > 0。

註解

  1. ^ (Moretti, 1964, p. 91)

參考文獻

  • Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964

外部連結