克卜勒方程式

克卜勒方程式（英語：Kepler's equation）把軌道力學中受到連心力影響的軌道中天體多種幾何性質聯繫起來。

這條方程式最早由約翰內斯·克卜勒得出，推導過程見於他在1609年出版的著作《新天文學》的第60章^[1]^[2]，而他在著作《哥白尼天文學概要（英語：Epitome of Copernican Astronomy）》（1621年出版）的第五卷中還提出了此方程式的一個迭代解^[3]^[4]。這條方程式在物理學史和數學史上都扮演著重要的角色，特別是在古典天體力學史上。

方程式

克卜勒方程式如下：

$M=E-e\sin E$

其中 $M$ 為平近點角， $E$ 為偏近點角，而 $e$ 則為離心率.

偏近點角 $E$ 對於計算克卜勒軌道上移動點的位置相當有用。比方說，天體在座標 $x = a (1 - e)$ 、 $y = 0$ 和時間 $t = t 0$ 時經過近星點，那麼要找出天體在任意時間的位置的話，首先可由時間和平均運動 $n$ 用方程式 $M = n (t - t 0)$ 計算出平近點角 $M$ ，然後解上述的克卜勒方程式得 $E$ ，便能由下列方程式求座標：

${\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos E-e)\\y&=&b\sin E\end{array}}$

其中 $a$ 為半長軸，而 $b$ 則為半短軸。

由於正弦是超越函數，所以克卜勒方程式是超越方程式，即是說不能用代數方法解出 $E$ 。一般求 $E$ 需要用到數值分析和級數。

其他形式

克卜勒方程式共有幾種形式。每一種形式都同一種特定軌道類型有關。標準的克卜勒方程式用於橢圓軌道（0 ≤ $e$ <1）。雙曲克卜勒方程式用於雙曲軌跡（ $e$ ≫1）。徑向克卜勒方程式用於線性（徑向）軌跡 ( $e$ =1)。拋物線軌跡（ $e$ =1）則用巴克方程式（英語：Parabolic trajectory#Barker's equation）。

當e = 0時，軌道是圓形的。增加e會導致圓形變成橢圓。當e = 1時共有三種可能性：

拋物線軌跡；
沿著從吸引中心起始無限長射線向內或向外的軌跡；
或沿著由吸引中心和距其一定距離的點所形成的線段來回移動的軌跡。

把 $e$ 從1輕微增加會形成轉角剛好低於180度的雙曲軌道。繼續增加數值會導致轉角變小，而當e趨向無限時，軌道則變成長度無限的直線。

雙曲克卜勒方程式

雙曲克卜勒方程式如下：

$M=e\sinh H-H$

其中 $H$ 為雙曲偏近點角。這條方程式是通過把 $M$ 重新定義為−1的平方根乘上橢圓方程式的右邊而得：

M=i\left(E-e\sin E\right)

（其中 $E$ 現為虛數），然後以 $iH$ 取代 $E$ 。

徑向克卜勒方程式

徑向克卜勒方程式如下：

$t(x)=\sin ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1-x)}}$

其中 $t$ 與時間成正比，而 $x$ 則與射線上與吸引中心的距離成正比。下式是通過把克卜勒方程式成 $1/2$ 並把 $e$ 定為1而成：

t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin(E)\right]

。

代入得

E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}})

。

逆問題

可以利用已知的 $E$ 值直接求出 $M$ 。但用已知 $M$ 值來求 $E$ 卻要複雜得多。因為不存在解析解。

可以使用拉格朗日反算法（英語：Lagrange inversion theorem）寫出克卜勒方程式解的級數表達式，但所有 $e$ 和 $M$ 的組合都不能使級數收斂（見下文）。

文獻中對克卜勒方程式可解性的混淆已存在了四個世紀^[5]克卜勒本人曾對找得到通解的可能性表示懷疑。

“

對於它［克卜勒方程式］不能用演繹法求解這點我是足夠滿意的，因為弧和正弦之間有著本質上的差異。但若果我錯了的話，任何人都應該給我指出來，而那個人在我眼中就是偉大的阿波羅尼奧斯。

”

——約翰內斯·克卜勒^[6]

逆克卜勒方程式

逆克卜勒方程式是所有實數值 $e$ 的克卜勒方程式解：

E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}

展開得：

E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\bigg |}{s=(6M)^{1/3}},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}

以上的級數可用Wolfram Mathematica的InverseSeries運算得出。

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]

InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]

這些函數只是簡單的麥克勞林級數。這樣的超越函數泰勒級數寫法可被視為那些函數的定義。因此，這個解是逆克卜勒方程式的正式定義。然而，在 $e$ 非零的時候， $E$ 並不是 $M$ 的整函數。其導數

dM/dE=1-e\cos E

在 $e$ <1時於無限複數集合中趨向零。在 $E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e)$ 有解，而在這些值時

M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)

（其中逆cosh取正值），而 $dE/dM$ 在這些點則趨向無限。這意味著此麥克勞林級數的收歛半徑為 $\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}$ ，並且當 $M$ 比這大時級數不會收歛。此級數還可用於雙曲情況，此時其收歛半徑為 $\cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}$ 。當 $e$ =1時此級數只在 $M <2π$ 時收歛。

還可以寫出用 $e$ 冪表示的麥克勞林級數。這級數在 $e$ 大於拉普拉斯極限（約為0.66）時不會收歛，與 $M$ 值無關（除非 $M$ 為 $2π$ 的倍數），但若 $e$ 小於拉普拉斯極限時則級數在任何 $M$ 值時都會收歛。級數的係數除了第一個之外（只是 $M$ 而已），都與 $M$ 成週期式關係，週期為 $2π$ 。

逆徑向克卜勒方程式

逆徑向克卜勒方程式（e = 1）可被寫成：

x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]

展開得：

x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3931875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}

上述結果可用Wolfram Mathematica求得:

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]

逆問題的數值近似

逆問題在大部份的應用中都能以數值方法求得函數的根：

f(E)=E-e\sin(E)-M(t)

可以經牛頓法來進行迭代：

E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}

注意在這個計算 $E$ 和 $M$ 的單位是弧度角。重覆迭代直到已經達到想要的準確度（例如，當 $f(E)$ < 所需的準確度）。對大部份的橢圓軌道而言，起始值取E₀ = M(t) 已經足夠。而對e > 0.8的軌道而言，則應取起始值 ${{{1}}}$ 。相近的手法還可以用於克卜勒方程式的雙曲形式^[7]^:66-67。而在面對拋物線軌跡的個案時則使用巴克方程式（英語：Parabolic trajectory#Barker's equation）。

定點迭代

另一種有關的解法由考慮 $E=M+e\sin {E}$ 開始。重覆地將 $E$ 的值代入右方式子就能得到簡單的求 $E(e,M)$ 的定點迭代（英語：fixed point iteration）算法。此方法與克卜勒1621年的解相同^[4]。

function E(e,M,n)
    E = M
    for k = 1 to n
        E = M + e*sin E
    next k
    return E

迭代次數 $n$ 取決於 $e$ 的數值。雙曲形式則用相近的 $H=e\sinh H-M$ 。

這個方法與上文牛頓法解的關係如下：

E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}

若 $M-E_{n}$ 及 $e$ 的數值小的話，取一次項得近似：

E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}

。

另見

參考資料

^ Kepler, Johannes. LX. Methodus, ex hac Physica, hoc est genuina & verissima hypothesi, extruendi utramque partem æquationis, & distantias genuinas: quorum utrumque simul per vicariam fieri hactenus non potuit. argumentum falsæ hypotheseos. Astronomia nova. 1609: 299–300 [2018-09-06]. （原始內容存檔於2019-06-11）（拉丁語）.
^ Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Astronomy. Springer. 2001: 146–147. ISBN 978-0-387-95136-2.
^ Kepler, Johannes. Libri V. Pars altera.. Epitome astronomiæ Copernicanæ usitatâ formâ Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de Doctrina Sphæricâ. 1621: 695–696 [2018-09-06]. （原始內容存檔於2019-06-19）（拉丁語）.
^ ^4.0 ^4.1 Swerdlow, N. M. Kepler's Iterative Solution to Kepler's Equation. Journal for the History of Astronomy（英語：Journal for the History of Astronomy）. 2000, 31: 339–341 [2018-09-06]. Bibcode:2000JHA....31..339S. doi:10.1177/002182860003100404. （原始內容存檔於2019-07-12）.
^ 克卜勒方程式常被聲稱「沒有解釋解」；例子見這裏（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。至於這是否真確取決於是否認為無限級數（或不一定收歛的級數）算解釋解。也有其他作者無理地聲稱此方程式無解；例子見M. V. K. Chari, Sheppard Joel Salon 2000 Technology & Engineering.
^ "Mihi ſufficit credere, ſolvi a priori non poſſe, propter arcus & ſinus ετερογενειαν. Erranti mihi, quicumque viam monſtraverit, is erit mihi magnus Apollonius." （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Hall, Asaph. Kepler's Problem. Annals of Mathematics. May 1883, 10 (3): 65–66. doi:10.2307/2635832.
^ Pfleger, Oliver Montenbruck, Thomas. Astronomy on the Personal Computer Third edition. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. 1998. ISBN 978-3-662-03349-4.

外部連結

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Conway, B. A. An improved algorithm due to Laguere for the solution of Kepler's equation. 1986. doi:10.2514/6.1986-84.
Mikkola, Seppo. A cubic approximation for Kepler's equation. Cel. Mech. 1987, 40 (3). Bibcode:1987CeMec..40..329M. doi:10.1007/BF01235850.
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Stumpf, Laura. Chaotic behaviour in the newton iterative function associated with kepler's equation. Cel. Mech. Dyn. Astr. 1999, 74 (2): 95–109. doi:10.1023/A:1008339416143.
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Boyd, John P. Rootfinding for a transcendental equation without a first guess: Polynomialization of Kepler's equation through Chebyshev polynomial equation of the sine. Appl. Num. Math. 2007, 57 (1): 12–18. doi:10.1016/j.apnum.2005.11.010.

Wolfram Mathworld的克卜勒方程式頁面（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[1] Kepler, Johannes. LX. Methodus, ex hac Physica, hoc est genuina & verissima hypothesi, extruendi utramque partem æquationis, & distantias genuinas: quorum utrumque simul per vicariam fieri hactenus non potuit. argumentum falsæ hypotheseos. Astronomia nova. 1609: 299–300 [2018-09-06]. （原始內容存檔於2019-06-11）（拉丁語）.

[2] Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Astronomy. Springer. 2001: 146–147. ISBN 978-0-387-95136-2.

[3] Kepler, Johannes. Libri V. Pars altera.. Epitome astronomiæ Copernicanæ usitatâ formâ Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de Doctrina Sphæricâ. 1621: 695–696 [2018-09-06]. （原始內容存檔於2019-06-19）（拉丁語）.

[kep-iter-4] 4.0 ^4.1 Swerdlow, N. M. Kepler's Iterative Solution to Kepler's Equation. Journal for the History of Astronomy（英語：Journal for the History of Astronomy）. 2000, 31: 339–341 [2018-09-06]. Bibcode:2000JHA....31..339S. doi:10.1177/002182860003100404. （原始內容存檔於2019-07-12）.

[5] 克卜勒方程式常被聲稱「沒有解釋解」；例子見這裏（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。至於這是否真確取決於是否認為無限級數（或不一定收歛的級數）算解釋解。也有其他作者無理地聲稱此方程式無解；例子見M. V. K. Chari, Sheppard Joel Salon 2000 Technology & Engineering.

[6] "Mihi ſufficit credere, ſolvi a priori non poſſe, propter arcus & ſinus ετερογενειαν. Erranti mihi, quicumque viam monſtraverit, is erit mihi magnus Apollonius." （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Hall, Asaph. Kepler's Problem. Annals of Mathematics. May 1883, 10 (3): 65–66. doi:10.2307/2635832.

[Pfleger1998-7] Pfleger, Oliver Montenbruck, Thomas. Astronomy on the Personal Computer Third edition. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. 1998. ISBN 978-3-662-03349-4.

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