特徵函數 (機率論)

在機率論中，任何隨機變數的特徵函數（縮寫：ch.f，複數形式：ch.f's）完全定義了它的機率分布。在實直線上，它由以下公式給出，其中$X$是任何具有該分布的隨機變數：

The characteristic function of a uniform U(–1,1) random variable. This function is real-valued because it corresponds to a random variable that is symmetric around the origin; however characteristic functions may generally be complex-valued.

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)$，

其中$t$是一個實數，$i$是虛數單位，$E$表示期望值。

用動差母函數$M_{X}(t)$來表示（如果它存在），特徵函數就是$iX$的動差母函數，或$X$在虛數軸上求得的動差母函數。

$\varphi _{X}(t)=M_{iX}(t)=M_{X}(it)$

與動差母函數不同，特徵函數總是存在。

如果$F_{X}$是累積分布函數，那麼特徵函數由黎曼－斯蒂爾傑斯積分給出：

$\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF_{X}(x)$。

在機率密度函數$f_{X}$存在的情況下，該公式就變為：

$\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx$。

如果$X$是一個向量值隨機變數，我們便取自變數$t$為向量，$tX$為數量積。

$R$或$R^{n}$上的每一個機率分布都有特徵函數，因為我們是在有限測度的空間上對一個有界函數進行積分，且對於每一個特徵函數都正好有一個機率分布。

一個對稱機率密度函數的特徵函數（也就是滿足$f_{X}(x)=f_{X}(-x)$）是實數，因為從$x>0$所獲得的虛數部分與從$x<0$所獲得的相互抵消。

連續性

主條目：勒維連續定理

勒維連續定理說明，假設$(X_{n})_{n=1}^{\infty }$為一個隨機變數序列，其中每一個$X_{n}$都有特徵函數$\varphi _{n}$，那麼它依分布收斂於某個隨機變數$X$：

$X_{n}{\xrightarrow {\mathcal {D}}}X$當$n\to \infty$

如果

$\varphi _{n}\quad {\xrightarrow {\textrm {pointwise}}}\quad \varphi$當$n\to \infty$

且$\varphi (t)$在$\ t=0$處連續，$\varphi$是$X$的特徵函數。

勒維連續定理可以用來證明弱大數法則。

反演定理

在累積機率分布函數與特徵函數之間存在對射。也就是說，兩個不同的機率分布不能有相同的特徵函數。

給定一個特徵函數φ，可以用以下公式求得對應的累積機率分布函數$F$：

$F_{X}(y)-F_{X}(x)=\lim _{\tau \to +\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\tau }^{+\tau }{\frac {e^{-itx}-e^{-ity}}{it}}\,\varphi _{X}(t)\,dt$。

一般地，這是一個廣義積分；被積分的函數可能只是條件可積而不是勒貝格可積的，也就是說，它的絕對值的積分可能是無窮大。

博赫納-辛欽定理/公理化定義

主條目：博赫納定理

任意一個函數$\varphi$是對應於某個機率律$\mu$的特徵函數，若且唯若滿足以下三個條件：

1. $\varphi \,$是連續的；
2. $\varphi (0)=1\,$；
3. $\varphi \,$是一個正定函數（注意這是一個複雜的條件，與$\varphi >0$不等價）。

計算性質

特徵函數對於處理獨立隨機變數的函數特別有用。例如，如果$X_{1}$、$X_{2}$、……、$X_{n}$是一個獨立（不一定同分布）的隨機變數的序列，且

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},\,\!$

其中$a_{i}$是常數，那麼$S_{n}$的特徵函數為：

$\varphi _{S_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\varphi _{X_{2}}(a_{2}t)\cdots \varphi _{X_{n}}(a_{n}t).\,\!$

特別地，$\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)$。這是因為：

$\varphi _{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)$。

注意我們需要$X$和$Y$的獨立性來確立第三和第四個表達式的相等性。

另外一個特殊情況，是$a_{i}={\frac {1}{n}}$且$S_{n}$為樣本平均值。在這個情況下，用${\overline {X}}$表示平均值，我們便有：

$\varphi _{\overline {X}}(t)=\left(\varphi _{X}\left({\frac {t}{n}}\right)\right)^{n}$。

特徵函數舉例

分布	特徵函數 $\varphi (t)$
退化分布 $\delta _{a}$	$e^{ita}$
伯努利分布 $\mathrm {Bern} (p)$	$1-p+pe^{it}$
二項分布 $B(n,p)$	$(1-p+pe^{it})^{n}$
負二項分布 $NB(r,p)$	${\biggl (}{\frac {1-p}{1-pe^{i\,t}}}{\biggr )}^{\!r}$
卜瓦松分布 $\mathrm {Pois} (\lambda )$	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
連續均勻分布 $U(a,b)$	${\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$
拉普拉斯分布 $L(\mu ,b)$	${\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}$
常態分布 $N(\mu ,\sigma ^{2})$	$e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$
卡方分布 $\chi _{k}^{2}$k	$(1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}$
柯西分布 $C(\mu ,\theta )$	$e^{it\mu -\theta |t|}$
伽瑪分布 $\Gamma (k,\theta )$	$(1-it\theta )^{-k}$
指數分布 $\mathrm {Exp} (\lambda )$	$(1-it\lambda ^{-1})^{-1}$
多元常態分布 $N(\mu ,\Sigma )$	$e^{it^{T}\mu -{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}$
多元柯西分布 $\mathrm {MultiCauchy} (\mu ,\Sigma )$	$e^{it^{T}\mu -{\sqrt {t^{T}\Sigma t}}}$

Oberhettinger (1973) 提供的特徵函數表.

特徵函數的應用

由於連續定理，特徵函數被用於中央極限定理的最常見的證明中。

動差

特徵函數還可以用來求出某個隨機變數的動差。只要第n個動差存在，特徵函數就可以微分n次，得到：

$\operatorname {E} \left(X^{n}\right)=i^{-n}\,\varphi _{X}^{(n)}(0)=i^{-n}\,\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}.\,\!$

例如，假設$X$具有標準柯西分布。那麼$\varphi _{X}(t)=e^{-|t|}$。它在$t=0$處不可微，說明柯西分布沒有期望值。另外，注意到$n$個獨立的觀測的樣本平均值${\overline {X}}$具有特徵函數$\varphi _{\overline {X}}(t)=(e^{-{\frac {\left\vert t\right\vert }{n}}})^{n}=e^{-|t|}$，利用前一節的結果。這就是標準柯西分布的特徵函數；因此，樣本平均值與母體本身具有相同的分布。

特徵函數的對數是一個累積量母函數，它對於求出累積量是十分有用的；注意有時定義累積量母函數為動差母函數的對數，而把特徵函數的對數稱為第二累積量母函數。

一個例子

具有尺度母數$\theta$和形狀母數k的伽瑪分布的特徵函數為：

$(1-\theta \,i\,t)^{-k}$。

現在假設我們有：

$\ X\sim \Gamma (k_{1},\theta )$且$\ Y\sim \Gamma (k_{2},\theta )$

其中$X$和$Y$相互獨立，我們想要知道$X+Y$的分布是什麼。$X$和$Y$特徵函數分別為：

$\varphi _{X}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{-k_{1}},\,\qquad \varphi _{Y}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{-k_{2}}$

根據獨立性和特徵函數的基本性質，可得：

$\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{-k_{1}}(1-\theta \,i\,t)^{-k_{2}}=\left(1-\theta \,i\,t\right)^{-(k_{1}+k_{2})}$。

這就是尺度母數為$\theta$、形狀母數為$k_{1}+k_{2}$的伽瑪分布的特徵函數，因此我們得出結論：

$X+Y\sim \Gamma (k_{1}+k_{2},\theta )$，

這個結果可以推廣到$n$個獨立、具有相同尺度母數的伽瑪隨機變數：

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta )\qquad \Rightarrow \qquad \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \right)$。

多元特徵函數

如果$X$是一個多元隨機變數，那麼它的特徵函數定義為：

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{it\cdot X}\right)$。

這裡的點表示向量的點積，而向量$t$位於$X$的對偶空間內。用更加常見的矩陣表示法，就是：

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{it^{T}X}\right)$。

例子

如果$X\sim N(0,\Sigma )\,$是一個平均值為零的多元高斯隨機變數，那麼：

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{it^{T}X}\right)=\int _{x\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{\left(2\pi \right)^{n/2}\left|\Sigma \right|^{1/2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{T}\Sigma ^{-1}x}\cdot e^{it^{T}x}\,dx=e^{-{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t},\quad t\in \mathbf {R} ^{n},$

其中$|\Sigma |$表示正定矩陣 Σ的行列式。

矩陣值隨機變數

如果$X$是一個矩陣值隨機變數，那麼它的特徵函數為：

$\varphi _{X}(T)=\operatorname {E} \left(e^{i\,\mathrm {Tr} (XT)}\right)$

在這裡，$\mathrm {Tr} (\cdot )$是跡函數，$\ XT$表示$T$與$X$的矩陣乘積。由於矩陣XT一定有跡，因此矩陣X必須與矩陣T的轉置的大小相同；因此，如果X是m × n矩陣，那麼T必須是n × m矩陣。

注意乘法的順序不重要（$XT\neq TX$但$\ tr(XT)=tr(TX)$）。

矩陣值隨機變數的例子包括威沙烏地分布和矩陣常態分布。

相關概念

相關概念有動差母函數和機率母函數。特徵函數對於所有機率分布都存在，但動差母函數不是這樣。

特徵函數與傅立葉轉換有密切的關係：一個機率密度函數$p(x)$的特徵函數是$p(x)$的連續傅立葉轉換的共軛複數（按照通常的慣例）。

$\varphi _{X}(t)=\langle e^{itX}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}p(x)\,dx={\overline {\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}p(x)\,dx\right)}}={\overline {P(t)}},$

其中$P(t)$表示機率密度函數$p(x)$的連續傅立葉轉換。類似地，從$\varphi _{X}(t)$可以通過傅立葉逆轉換求出$p(x)$：

$p(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}P(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}{\overline {\varphi _{X}(t)}}\,dt$。

確實，即使當隨機變數沒有密度時，特徵函數仍然可以視為對應於該隨機變數的測度的傅立葉轉換。

參考文獻

• Lukacs E. (1970) Characteristic Functions. Griffin, London. pp. 350
• Bisgaard, T. M., Sasvári, Z. (2000) Characteristic Functions and Moment Sequences, Nova Science