熱核(英語:heat kernel)在數學中是指熱方程的基本解。其也是拉普拉斯算子譜分析中的重要工具之一。對於固定邊界的區域,當邊界溫度給定、並於t = 0時在其中某一點放置一單位熱能時,熱核表示此後區域內溫度的變化過程。

一維熱方程的基本解(紅線)

最常見的熱核為d歐幾里得空間Rd上的熱核。該熱核為隨時間變化的高斯函數,其表達式為

該熱核是熱方程

的解,其中t > 0,x,y ∈ Rd,Δ則表示拉普拉斯算子。方程的初始條件為

其中δ表示狄拉克δ函數。對任一緊支撐的光滑函數φ,有

對於Rd上的一般區域,熱核並沒有顯式的表達式。當區域為圓盤或方形時,熱核則分別為貝索函數雅可比Θ函數。可以證明,對任意黎曼流形,當邊界條件充分正則時,熱核存在且在t>0時光滑。

參考文獻