洛朗級數

在數學中,複變函數f(z)的洛朗級數(英語:Laurent series),是冪級數的一種,它不僅包含了正數次數的項,也包含了負數次數的項。有時無法把函數表示為泰勒級數,但可以表示為洛朗級數。洛朗級數是由皮埃爾·阿方斯·洛朗在1843年首次發表並以他命名的。卡爾·魏爾斯特拉斯可能是更早發現這個級數的人,但他1841年的論文在他死後才發表於世。[1]

函數f(z)關於點c的洛朗級數由下式給出:

其中an是常數,由以下的曲線積分定義,它是柯西積分公式的推廣:

積分路徑γ是位於圓環A內的一條逆時針方向的可求長曲線,把c包圍起來,在這個圓環內全純的(解析的)。的洛朗級數展開式在這個圓環內的任何地方都是正確的。在右邊的圖中,該環用紅色顯示,其內有一合適的積分路徑 。如果我們讓是一個圓 ,其中 ,這就相當於要計算的限制到的複傅立葉係數。這些積分不隨輪廓的變形而改變是斯托克斯定理的直接結果。

在實踐中,上述的積分公式可能不是計算給定的函數係數最實用的方法;相反,人們常常通過拼湊已知的泰勒展開式來求出洛朗級數。因為函數的洛朗展開式只要存在就是唯一的 ,實際上在圓環中任何與相等的,以上述形式表示的給定函數的表達式一定就是的洛朗展開式。

收斂洛朗級數

複系數洛朗級數是複分析中的一個重要工具,尤其在研究函數奇異點附近的行為時。

 
e−1/x2和洛朗近似:見文中解釋。隨著洛朗級數負次數的增長,圖像接近正確的函數。
 
e−1/x2和洛朗近似的負次數的增長。奇異點零的鄰域不能被近似。

考慮例如函數

 

作為實變函數,它是處處無窮可微的;但作為一個複變函數,在x 等於 0處不可微。用−1/x2替換指數函數冪級數展開式中的x,我們得到其洛朗級數,對於除了奇異點X = 0以外的所有複數,它都收斂並等於ƒ(x)。旁邊的圖顯示了對於N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 780e−1/x2(黑色)和它的洛朗近似

 

N → ∞,近似對除了奇異點x = 0處的所有複數x都很精確。

更一般地,洛朗級數可以用來表達定義在圓環上的全純函數,就像冪級數被用於表達一個圓盤上定義全純函數一樣。

參看

參考文獻

  1. ^ Rodriguez, Rubi; Kra, Irwin; Gilman, Jane P., Complex Analysis: In the Spirit of Lipman Bers, Graduate Texts in Mathematics 245, Springer: 12, 2012 [2014-10-31], ISBN 9781441973238, (原始內容存檔於2020-08-12) 

外部連結