波利亞計數定理 （英語：Pólya enumeration theorem ，簡稱PET ）用來研究不同著色方案的計數問題，它是組合數學 中的一個重要的計數公式，是伯恩賽德引理 的一般化，由波利亞·哲爾吉 在1937年的論文[ 1] John Howard Redfield 在1927年發表，但當時很少有人能理解，十年後由波利亞獨立重新發現。對於含n個對象的置換群 G，用t種顏色著色的不同方案數為：
l
=
1
|
G
|
∑
g
∈
G
t
c
(
a
g
)
{\displaystyle l={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}t^{c(a_{g})}}
其中
G
=
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
g
,
c
(
a
k
)
{\displaystyle G={a_{1},a_{2},...,a_{g}},c(a_{k})}
a
k
{\displaystyle a_{k}}
循環指標 （Cycle index）數目。
設對
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
m
{\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{m}}
m
c
(
p
i
)
=
(
b
1
+
b
2
+
⋯
+
b
m
)
c
1
(
p
i
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
⋯
+
b
m
2
)
c
2
(
p
i
)
⋯
(
b
1
n
+
b
2
n
+
⋯
+
b
m
n
)
c
n
(
p
i
)
{\displaystyle m^{c(p_{i})}=(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m})^{c_{1}(p_{i})}(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{m}^{2})^{c_{2}(p_{i})}\cdots (b_{1}^{n}+b_{2}^{n}+\cdots +b_{m}^{n})^{c_{n}(p_{i})}}
c
j
(
p
i
)
{\displaystyle c_{j}(p_{i})}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
設
S
k
=
(
b
1
k
+
b
2
k
+
⋯
+
b
m
k
)
,
k
=
1
,
2
⋯
,
n
{\displaystyle S_{k}=(b_{1}^{k}+b_{2}^{k}+\cdots +b_{m}^{k}),k=1,2\cdots ,n}
母函數 形式為：
P
(
G
)
=
1
∣
G
∣
∑
j
=
1
g
Π
k
=
1
n
S
k
c
k
(
p
j
)
{\displaystyle P(G)={\frac {1}{\mid G\mid }}\sum _{j=1}^{g}\Pi _{k=1}^{n}S_{k}^{c_{k}(p_{j})}}
波利亞計數定理只是給出計數，但沒有給出相應的方案，而母函數形式的波利亞計數定理可以給出相應的方案。
使用兩種顏色對正方體的六個面的面染色，不同的染色方案數有：
1
24
(
2
6
+
6
×
2
3
+
3
×
2
4
+
6
×
2
3
+
8
×
2
2
)
=
10
{\displaystyle {\frac {1}{24}}\left(2^{6}+6\times 2^{3}+3\times 2^{4}+6\times 2^{3}+8\times 2^{2}\right)\ =10}
甲烷CH4的4個鍵任意用H(氫),Cl(氯),CH3(甲基), C2H5(乙基) 連接，有多少種方案？
甲烷的結構為正四面體，設四面體的四個頂點分別為A、B、C、D，將正四面體的轉動群按轉動軸分類情況如下：
不動旋轉：A、B、C、D共有一個(1)4 循環；
以頂點與對對面的中心連線為軸，逆時針旋轉±120。存在如下置換所對應的旋轉：置換(BCD)與置換(BDC)、置換(ACD)與置換(ADC)、置換(ABD)與置換(ADB)，(ABC)及(ACB)，共計8個(1)1 (3)1 循環。
以正四面體的3對對邊之中點聯線為旋轉軸旋轉180度，(AB)(CD)，(AC)(BD)，(AD)(BC),共有3個(2)2 循環 根據波利亞計數定理可得:
1
12
(
4
4
+
8
×
4
2
+
3
×
4
2
)
=
36
{\displaystyle {\frac {1}{12}}\left(4^{4}+8\times 4^{2}+3\times 4^{2}\right)\ =36}
波利亞計數定理中的群G是作用在n個對象上的置換群。
伯恩賽德引理中的群G是對這n個對象染色後的方案集合上的置換群。
兩個群之間存在一定的聯繫，群G的元素，相應的在染色方案上也誘導出一個屬於G的置換。
^ G. Pólya. Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen. Acta Mathematica. 1937, 68 (1): 145–254. doi:10.1007/BF02546665
