比耶魯姆長度

比耶魯姆長度（Bjerrum length ）是衡量介質極化程度的一種方法，定義為：在介電常數為 $\epsilon _{r}$ 的介質中，距離為$l_{B}$ 的兩個基本電荷對之間的靜電勢能$U(r)$ 等於無規熱能 $k_{B}T$ （或者距離$l_{B}$ 的一摩爾基本電荷對之間的靜電勢能 $U(r)$ 等於無規熱能 $RT$ ）。

其中$k_{B}$為波爾茲曼常數，$T$為絕對溫度，R氣體常數 是波茲曼常數 k 乘上阿伏伽德羅常數 N_A。當使用摩爾數計算粒子數時，較常使用氣體常數。 比耶魯姆長度以丹麥化學家比耶魯姆的名字命名。比耶魯姆長度是電解質體系、聚電解質體系和膠體分散系等中的一個很自然的尺度。

在國際單位制中，比耶魯姆長度為

$l_{B}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r}k_{B}T}}$

其中，$e$為基本電荷的電量，$\epsilon _{0}$為真空電容率，$\epsilon _{r}$為溶液的相對介電常數。對於水溶液，在室溫（$T=300K$），$\epsilon _{r}\approx 80$，於是$l_{B}\approx 0.7{\mbox{nm}}$

在 高斯單位制中， $4\pi \epsilon _{0}=1$ ，比耶魯姆長度為

$l_{B}={\frac {e^{2}}{\epsilon _{r}k_{B}T}}.$

例子

基本電子對間的庫倫勢定義為：

$u\left(r\right)={\frac {{e}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{r}}r}}$

空氣中，$\epsilon _{r}$ = 1，一摩爾相距為 $r={{l}_{B}}$ 的基本電子對，電勢能為：

$u\left({{l}_{B}}\right)={\frac {{e}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{l}_{B}}}}N$

根據比耶魯姆長度的定義，庫倫勢等於內能: $u\left({{l}_{B}}\right)=RT$

${\frac {{e}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{l}_{B}}}}N=RT\Rightarrow {{l}_{B}}={\frac {{{e}^{2}}N}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}RT}}$

當溫度 $T=298.15K$ 時:

${{l}_{B}}={\frac {1.386\times {{10}^{-4}}J\centerdot m\centerdot mo{{l}^{-1}}}{\left(8.314J{{K}^{-1}}\times 298.15K\right)}}=560{\overset {\circ }{\mathop {A} }}\,$

$560{\overset {\circ }{\mathop {A} }}$ 在原子尺度上來說是一個非常長的距離，是原子半徑的許多倍，當兩個電荷的距離比這個距離小的時候，它們會感受到非常強烈的吸引（或排斥）力，由於庫侖勢能比布朗運動的能量高，它們會變得有規則。反之，當距離大於比耶魯姆長度的時候，庫侖力對電荷的束縛比較小，電荷顯得更加自由。