正圖形
提示：此條目的主題不是正則圖。在幾何學中，正圖形或正幾何形狀（英語：Regular Geometric Shape）是一類具有高度對稱性的幾何結構。其中，若該幾何結構是由線段、平面或超平面的邊界構成則又可稱為正多胞形（英語：Regular polytope）。
| 一些正幾何形狀的例子 | |
|---|---|
 正五邊形是一個多邊形，是一個正圖形，由5個邊組成的二維正多胞形，其施萊夫利符號為{5} |
 正十二面體是一個多面體，是一個正圖形，由12個正五邊形面組成的三維正多胞形，其施萊夫利符號為{5,3} |
 正一百二十胞體是一個四維多胞體，是一個正圖形，由120個正十二面體胞組成的四維正多胞形，其施萊夫利符號為{5,3,3}。（這裡展示的是施萊格爾圖像） |
 正方體堆砌是一個三維空間堆砌，可被看作是四維的無窮胞體，施萊夫利符號為{4,3,4} |
 八維超正方體的256個頂點和1024條棱可以用正交投影來展示。（皮特里多邊形） | |
和正圖形相對的概念為不規則圖形（Irregular Geometric Shape）或不規則幾何形狀、非正幾何形狀，其對稱性比正圖形低或無對稱性。在不規則圖形中，依照對稱性的高低又可以分為擬正圖形（Quasiregular）、半正圖形（Semiregular）、似正圖形（Demiregular）、均勻圖形（Uniform）等幾何結構。
正多胞形
正多胞形是一種對稱性對於標記可遞的幾何結構，且具有高度對稱性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如：點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，例如，正方體所有的面的面積及形狀皆相同，且皆為正方形，是一個二維正多胞形、所有邊的長度也相同，所有角的角度及形式也相同，因此正方體是一個正圖形或正多胞形。對於所有元素，或叫j維面（對所有的 0 ≤ j ≤ n，其中n是該幾何體所在的維度） — 胞、面等等 — 也都對於多胞形的對稱性可遞，也是≤ n維的正圖形。
正圖形是正多邊形（例如：正方形或者正五邊形[1] ）和正多面體（例如立方體）的向任意維度的推廣類比。正圖形極強的對稱性使它們擁有極強的審美價值，吸引著數學家和數學愛好者。
一般地，n維正圖形被定義為有正維面[(n − 1)-表面]和正頂點圖。這兩個條件已經能充分地保證所有面、所有頂點都是相似的。但要注意的是，這一定義並不適用於抽象多胞形。
一個正圖形能用形式為{a, b, c, ...., y, z}的施萊夫利符號代表，其正的面為{a, b, c, ..., y}，頂點圖為{b, c, ..., y, z}。
分類和描述
正圖形最基礎的分類是按其維度。
它們能夠按照對稱性進一步分類。例如，正方體和正八面體有著相同的對稱性，同樣，正十二面體和正二十面體也是。事實上，對稱群大多依照正圖形命名，例如正四面體對稱群和正二十面體對稱群。
3種特殊類型的正圖形存在於所有維度：
在二維，這裡有無窮多個正多邊形。在三維和四維這裡有許多上述三種之外的正多面體和正多胞體。在五維及以上維，只存在這三種類型的正圖形。另見正圖形列表。
正圖形的概念有時被擴展，使其包括了另外一些相關的幾何對象。其中一些有正的例子，下面「歷史發現」一章將會詳細說明。
施萊夫利符號
施萊夫利符號是一個簡潔有力的多面體表示法，是19世紀由路德維希·施萊夫利所發明的，一個改進了的版本隨後成為了標準。這種記號可通過維度依次增加一獲得最好的解釋。
- 一個有著面{n}，並且一個頂點處有p個面相交的正多面體標記為{n, p}。九個正多面體是：{3, 3}、{3, 4}、{4, 3}、{3, 5}、{5, 3}、{3, 5/2}、{5/2, 3}、{5, 5/2}和{5/2, 5}。{p}就是這個正多面體的頂點圖。
- 一個有著胞{n, p}，並且每一條棱處有q個胞相交的正多胞體標記為{n, p, q}。其頂點圖為{p, q}。
- 一個五維正多胞體是{n, p, q, r}，等等。
正圖形的對偶性
正圖形的對偶形也是正圖形。對偶圖形的施萊夫利符號就是將原來的符號倒過來寫：{3,3}為自身對偶，{3,4}與{4,3}對偶，{4,3,3}與{3,3,4}對偶，以此類推。
正圖形的頂點圖的對偶即是其對偶圖形的維面。例如{3,3,4}的頂點圖是{3,4}，其對偶即是{4,3} — {4,3,3}的一個胞。
如果其施萊夫利符號是回文，即正反讀都一樣，那麼這個正圖形就是自身對偶的。自身對偶正圖形包括：
- 點
- 線段，{}。
- 所有的正多邊形，{a}。
- 所有的n-正單純形，{3,3,3,...,3,3,3}。
- 四維正多胞形正二十四胞體，{3,4,3}。
- 所有n維超方形堆砌，{4,3,3,...,3,3,4}。這些在多胞形學中被看作無窮多胞形。
正單純形
|
|
|
|
| 線段 | 正三角形 | 正四面體 | 正五胞體 |
|
|
|
我們從點A開始。標下與A相距r的點B，並連接它們，形成線段。在垂直與它的第二維度標下與A、B都相距r的第三點C，並連接AC、BC，形成正三角形。在垂直與它的第三維度標下與三點都相距r的第四點D，連接四點，便形成正四面體。用同樣的方法，我們可以得到更高維的類似正圖形。
這些就是正單純形。以維度來排序，它們是：
超方形
|
|
|
| 正方形 | 立方體 | 超正方體 |
|
|
|
從一個點A開始。連一條線到距離為r的B，形成一條線段。延伸第二條長為r的線，垂直於AB，將B連接到C，同樣連結A到D，形成一個正方形ABCD。從每個頂點同樣延伸出長為r的線，同時垂直於AB和BC，標記點E、F、G、H形成立方體ABCD-EFGH。用同樣的方法，我們可以得到更高維的類似正圖形。
它們就是超方形或稱正測形。以維度來排序，它們是：
- 0. 點
- 1. 線段
- 2. 正方形（正四邊形）
- 3. 立方體（正六面體）
- 4. 四維超正方體（正八胞體）或4-超方體
- 5. 五維超正方體（五維正十胞體）或5-超方體
- ...一個n-超方體有2n個頂點。
正軸形
|
|
|
| 正方形 | 正八面體 | 正十六胞體 |
|
|
|
|
從一個點O開始。從O向兩個相反的方向延出兩條線到距O點距離為r的A和B，互相之間距離為2r，形成一條線段。同樣再畫線段COD，長度為2r，以O為中點而垂直於AB。連接4個頂點形成正方形ACBD。再畫線段EOF，同樣長度為2r，中點為O，同時垂直於AB和CD（即上下方向）。將其頂點與正方形頂點一一相連得到正八面體。用同樣的方法，我們可以得到更高維的類似正圖形。
這樣得到的圖形稱為正軸形或交叉形。以維度來排序，它們是：
正無窮胞體 — 無窮多胞形
參見
參考文獻
- ^ Regular Geometric Shapes (PDF). mommycrusader.com. [2019-04-13]. （原始內容 (PDF)存檔於2019-04-13）.
- (Coxeter, 1948) Coxeter, H. S. M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948).
- (Coxeter, 1974) Coxeter, H. S. M.; Regular Complex Polytopes, (Cambridge University Press, 1974).
- (Coxeter, 1982) Coxeter, H. S. M.; Ten Toroids and Fifty-Seven hemi-Dodecahedra Geometrica Dedicata 13 pp87–99.
- (Coxeter, 1984) Coxeter, H. S. M.; A Symmetrical Arrangement of Eleven hemi-Icosahedra Annals of Discrete Mathematics 20 pp103–114.
- (Coxeter, 1999) Coxeter, H. S. M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F.; The Fifty-Nine Icosahedra (Tarquin Publications, Stradbroke, England, 1999)
- (Cromwell, 1997) Cromwell, Peter R.; Polyhedra (Cambridge University Press, 1997)
- (Euclid) Euclid, Elements, English Translation by Heath, T. L.; (Cambridge University Press, 1956).
- (Grünbaum, 1977) Grünbaum, B.; Regularity of Graphs, Complexes and Designs, Problèmes Combinatoires et Théorie des Graphes, Colloquium Internationale CNRS, Orsay, 260 pp191–197.
- (Grünbaum, 1994) B. Grünbaum, Polyhedra with hollow faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. ... (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic pp. 43–70.
- (Hilbert, 1952) Hilbert, D.; Cohn-Vossen, S. Geometry and the imagination, (Chelsea, 1952) p144.
- (Haeckel, 1904) Haeckel, E.; Kunstformen der Natur (1904). Available as Haeckel, E.; Art forms in nature (Prestel USA, 1998), ISBN 3-7913-1990-6, or online at https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
- (Lindemann, 1987) Lindemann F.; Sitzunger Bayerische Akademie Der Wissenschaften 26 (1987) pp625–768.
- (McMullen, 2002) McMullen, P.; Schulte, S.; Abstract Regular Polytopes; (Cambridge University Press, 2002)
- (Sanford, 1930) Sanford, V.; A Short History Of Mathematics, (The Riverside Press, 1930).
- (Schläfli, 1855), Schläfli, L.; Reduction D'Une Integrale Multiple Qui Comprend L'Arc Du Cercle Et L'Aire Du Triangle Sphérique Comme Cas Particulières, Journal De Mathematiques 20 (1855) pp359–394.
- (Schläfli, 1858), Schläfli, L.; On The Multiple Integral ∫ndx dy ... dz, Whose Limits Are and Quarterly Journal Of Pure And Applied Mathematics 2 (1858) pp269–301, 3 (1860) pp54–68, 97–108.
- (Schläfli, 1901), Schläfli, L.; Theorie Der Vielfachen Kontinuität, Denkschriften Der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 38 (1901) pp1–237.
- (Shephard, 1952) Shephard, G.C.; Regular Complex Polytopes, Proc. London Math. Soc. Series 3, 2 (1952) pp82–97.
- (Smith, 1982) Smith, J. V.; Geometrical And Structural Crystallography, (John Wiley and Sons, 1982).
- (Van der Waerden, 1954) Van der Waerden, B. L.; Science Awakening, (P Noordhoff Ltd, 1954), English Translation by Arnold Dresden.
- D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes
- Olshevsky, George, Regular polytope at Glossary for Hyperspace.
- Stella: Polyhedron Navigator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Tool for exploring 3D polyhedra, 4D polytopes, and printing nets
- Ernst Haeckel's Kunstformen der Natur online (German)
- Interesting fold-out nets of the cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
