杜哈梅原理

杜哈梅原理（英語：Duhamel's principle），又稱為齊次化原理，是求解非齊次線性偏微分方程（如熱傳導方程、波動方程）的一種方法。杜哈梅原理以法國數學家杜哈梅的名字命名，他最早在非齊次熱傳導方程中應用了此方法。該方法可以看作是求解非齊次線性常微分方程時使用的常數變易法（Variation of parameters）的推廣。

杜哈梅原理將非齊次問題的求解轉化為一組柯西問題（初值問題）的求解。以熱傳導方程為例，熱能分布 $u$ 為 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的函數。初值問題為

${\begin{cases}u_{t}(x,t)-\Delta u(x,t)=0&(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&x\in \mathbb {R} ^{n}\end{cases}}$

其中 $g$ 表示初始的熱分布。而相應的非齊次問題則為

${\begin{cases}u_{t}(x,t)-\Delta u(x,t)=f(x,t)&(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&x\in \mathbb {R} ^{n}\end{cases}}$

可以將非齊次問題看成是無數個瞬時 $t=t_{0}$ 的齊次問題的疊加。由於方程是線性的，故將每一個 $t_{0}$ 時刻的齊次問題的解疊加（積分）之後就可以得到非齊次問題的解。這便是杜哈梅原理的基本思想。

外部連結

• 豆瓣讀書上《杜哈梅原理》的資料 （簡體中文）