李超代數

李超代數李代數的推廣,包含了Z2分次代數。李超代數在理論物理中十分重要,用於描述超對稱的數學理論。其中,超代數的偶元素大多對應玻色子,奇元素大多對應費米子(也有相反者,如BRST超對稱)。

定義

形式上看,李超代數是交換環(一般是RC)上的非結合Z2-分次代數,或「超代數」,其積為[·, ·],稱作李超括號超交換子,滿足兩個條件(與分次的通常李代數類似):

超反對稱性(skew-symmetry):

 

超雅可比恆等式:[1]

 

其中xyzZ2分次中為純。|x|表示x的度(0或1)。[x,y]的度是x、y度之和模2。

有時,還會在 時添加公理 (若2可逆,則公理自動成立);對 時,有 (若3可逆,則公理自動成立)。當基環是整數或李超代數是自由模時,這些條件等同於龐加萊–伯克霍夫–威特定理成立的條件(一般而言是定理成立的必要條件)。

正如對李代數一樣,李超代數的泛包絡代數可被賦予霍普夫代數結構。 反交換、在分次意義上雅可比的分次李代數(按ZN分次)也有 分次(稱作將代數「卷」為奇偶部分),但不稱作「超」。

性質

 為李超代數。通過觀察雅可比恆等式,可發現有8種情況取決於參數的奇偶。以奇元素個數為索引,分成4類:[2]

  1. 無奇元素。即 為平凡李代數。
  2. 1個奇元素。則 是作用  模。
  3. 2個奇元素。雅可比恆等式說明括號 是對稱 映射。
  4. 3個奇元素。對所有 ,都有 

因此,李超代數的偶超代數 形成(正常)李代數,因為所有符號都消失了,超括號變為普通李括號;而  的線性表示,存在對稱 等變線性映射 使得

 

條件(1)–(3)是現行的,都可以用普通李代數來理解。條件(4)是飛現行的,且是在從普通李代數( )和表示( )開始構造李超代數時最難驗證的條件。

對合

李超代數是配備自身到自身的對合反線性映射的復李超代數,映射反映Z2分次且對李超代數中所有xy都有 (有人更喜好約定 ;將*改為−*可在兩種約定之間切換)。其泛包絡代數將是普通對合代數

例子

給定結合超代數 ,可通過以下方式定義齊次元素上的超交換子:

 

然後線性延伸到所有元素。代數 與超交換子共同構成李超代數。這個過程最簡單的例子也許是當 為超向量空間 中所有線性函數 的空間。 時,該空間可表為  [3]用上述李括號,空間可表為 [4]

同倫群上的懷特海德積給出了許多整數上的李超代數的例子。

超龐加萊代數生成了平面超空間的等距。

分類

維克托·卡茨對簡單復有限維李超代數進行了分類:(不包括李代數)[5] 特殊線性李超代數  .

李超代數  的超代數,包含超跡為0的矩陣。 時是簡單的; 時,單位矩陣 產生一個理想。對理想取商,可得  ,對 是簡單的。

正交辛李超代數  .

考慮 上的偶、非退化、超對稱雙射形式 ,則正交辛李超代數是 的超代數,包含的矩陣滿足下式不變: 其偶部由 給出。

例外李超代數  .

有一族取決於參數 的(9∣8)維李超代數,它們是 的變形。若  ,則D(2,1,α)是簡單的;若  在映射  的作用下處於同一軌道,則 

例外李超代數  .

具有維度(24|16)。偶部由 給出。

例外李超代數  .

具有維度(17|14)。偶部由 給出。

還有2個所謂「奇異」序列,分別叫做  .

Cartan類型。可分為4族:    。對於簡單李超代數的Cartan類型,奇部在偶部的作用下不再完全可還原。

無窮維簡單線性緊李超代數的分類

分類包含10個系列W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3)及5個例外代數:

E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8)

最後兩個特別有趣(據Kac所說),因為它們的零級代數是標準模型規範群SU(3)×SU(2)×U(1)。無窮維(仿射)李超代數是超弦理論中重要的對稱,具體來說,具有 超對稱的Virasoro代數是 ,其只有中心擴展到 [6]

範疇論定義

範疇論中,李超代數可定義為非結合超代數,其積滿足

  •  
  •  

其中σ是循環包絡辮 。以圖表示:

 

另見

注釋

  1. ^ Freund 1983,第8頁
  2. ^ Varadarajan 2004,第89頁
  3. ^ Varadarajan 2004,第87頁
  4. ^ Varadarajan 2004,第90頁
  5. ^ Cheng S.-J. ;Wang W. Dualities and representations of Lie superalgebras. Providence, Rhode Island. 2012: 12. ISBN 978-0-8218-9118-6. OCLC 809925982. 
  6. ^ Kac 2010

參考文獻

歷史

外部連結