最後通牒賽局

最後通牒賽局是經濟學和比較心理學中賽局理論的一種實際應用。1982年沃納·古斯等首次把它做成試驗。最後通牒賽局的試驗常被用來研究利他主義或利己主義。使用最後通牒賽局的不同試驗布置可以研究人類在試驗中是否只為擴大自己的盈利還是在試驗中也顧及其他人的利益。對其他人的顧及可以來源於賽局中為自己或者大加帶來利益的規則、文化習俗如正義感以及自己對其他人和觀察者留下的印象。神經生物學的試驗也成功地使用最後通牒賽局，比如用來探測大腦損傷對行為造成的影響和後果。一個多人變異是海盜賽局。

最後通牒賽局是一種由兩名參與者進行的非零和賽局。在這種賽局中，一名提議者向另一名響應者提出一種分配資源的方案，如果響應者同意這一方案，則按照這種方案進行資源分配；如果不同意，則兩人都會什麼都得不到。按照理性人假設，只要提議者將少量資源分配給響應者，響應者就應該同意。因為這要比什麼都得不到好。但實際進行的實驗則表明只有當給響應者分配足夠資源時，方案才能通過。當有多名響應者參與並擁有投票權，且方案被否決會導致動議者收益為負無限大時，這一賽局就成為了海盜賽局。

原始形式

試驗參加者張三獲得一定的資源$c$（比如一筆錢）。從這批資源中他要分出一部分$s$（$0\leq s\leq c$）分給試驗參加者李四。假如李四拒絕接受分給他的那部分，則張三也無法獲得剩下的部分，兩人都一無所獲。假如李四接受張三分給他的那部分，那麼張三可以保留剩餘的部分$c-s$。

對張三來說一個目標在於他的儘量達到最高的盈利。李四參加試驗的目的對張三來說不明。張三可以根據社交經驗推測對方的目的。在原始形式中張三和李四互相不認識，也無法相互交流。兩位參加試驗的人除了沒有獲得盈利外不必擔心其它後果。

對於經濟人來說最後通牒賽局的答案是張三從$c$中分出最小可能的數量$s>0$給李四（比如1分錢），因為他知道一個追求最高盈利的理性的李四不會拒絕這個非常小的數量，最低的數量依然比0高。張三可以以此使用最低的投資獲得最高的盈利。實際上許多李四試驗員卻拒絕他們認為不公平的太小的數量，因此從經濟人的觀點上來看反應不合理。一般總額15%以下的數額會被拒絕，這樣張三也一無所獲。不同參加試驗的人分的數量也不同。平均張三會分給李四總額的30%。一般成交的分配總是遠遠高於「理性」的分配。

另一個變異是張三已經獲得了$c$的財富，他可以把其中一部分$s$分給李四，李四接受這個分配後張三可以獲得$c-s$的盈利。這個變異有三種不同的結局：

1. 張三把$s={\tfrac {c}{2}}$給李四，這樣張三沒有任何損失，而李四則獲得張三財產的一半。
2. 張三分給李四$s={\tfrac {c}{3}}$，這樣兩人均贏得${\tfrac {c}{3}}$。
3. 假如李四本來就已經擁有$d$，那麼假如他接受張三的分配$s=c\cdot {\tfrac {d}{c+2d}}$的話，兩人的相對盈利為$1+{\tfrac {c}{c+2d}}$。

假如張三的資本比李四高的話，第三種結局就絕對盈利來說李四虧了。只有在李四的資本高於張三的情況下，他在第三種結局中才占利。也就是所張三資本高的話他會尋求第三種結局，否則他會尋求第二種結局。假如兩人資本一樣高的話結局2和3是相等的。

參賽兩人中資本比較低的人希望刻意隱藏其資本數量，讓對方採納第二中結局獲利。而資本比較多的參賽者則儘量計算比較窮的參賽者的資本數量，使得採納第3結局時不讓多方感到自己不公平。公平的準則則根據參賽者的文化背景不同。

假如分配的人數不止兩人的話，那麼接受小數額的可能性也提高。

文化習俗對分配有明顯影響。

在國民經濟學中給多方分配一個資源，使得分配讓各方都達到最優化，沒有一方被虧待的方法叫做多目標優化。

變異：獨裁者賽局

在獨裁者賽局變異中李四無法拒絕張三的分配。在這個變異中假如沒有其它因素參與的話理論上估計只有最小的數額值會被張三提出。假如參賽者不使用最佳分配，那麼可以研究什麼其它因素在影響參賽者的決定。

不同等級的優化

假如多人賽局導理性致優化，則集體理性在這個賽局中占主導地位。假如在一個賽局中沒有優化的跡象，則在此賽局中沒有理性主導，或者在賽局中有另一個未知的理性主導存在（比如長遠的優化）。最後通牒賽局尤其適用於體現這個現象，並可以用來解除貌似的自相矛盾。

多重最後通牒賽局的結局與單局有區別。在這裡一個集體分別參加單個賽局，但是通過集體單局的損失可以被減少，或者整個集體的盈利可以提高。在這種情況下集體內部有效地分配賽局資源是關鍵。

實驗結果

工業國家的參賽者——大多為美國、歐洲和亞洲的本科學生——在原始形式中一般提供總額的40%到50%，30%以下的建議一般會被拒絕。馬丁·A·諾瓦克等於2000年在假設參賽者會通過歷史紀錄上的分配結果顧及自己的信譽的情況下預言這個結果。諾瓦克由此得出結論最後通牒賽局體現出人類共有的公正感和對不公正的行為懲罰的趨勢。雖然賽局是沒有信譽舉行的，但是其結果卻與有信譽類似，因此諾瓦克等人推理認為公正和懲罰是人類在進化過程中產生的，沒有信譽的互動沒有適應度。

在其它文化背景下最後通牒賽局的結果與此不同。約瑟夫·亨理希等使用比較小的民族多次做最後通牒賽局實驗。工業國家的參賽者在分配時各種各樣，所有的分配數額都有，而小民族的參賽者則分配數額非常低，而且也不拒絕低數額。這個結果類似於諾瓦克等在顧及信譽前的結果。美國人在獨裁者賽局中分配的數額（>45%）比哈扎人該近一倍（<30%）。最後通牒賽局的結果類似，在小民族裡被拒絕的數額也要比美國低。對這些結果的分析發現市場結合度（買的消費食品比率）和宗教信仰程度都能夠互不相關地提高分配數額。由此可見最後通牒賽局在工業國家的結果不是人類的本質，而是社會發展的文化結果。亨理希等認為複雜的市場經濟社會沒有陌生人之間高度的合作是不可能的。

歷史

該實驗最早是由 Werner Guth, Rolf Schmittberger 和 Bernd Schwarze 於1982年在科隆大學進行，之後在全世界範圍內被重複了無數次。研究者之所以熱衷於這個實驗，是因為其實驗結果與新古典經濟學的經濟人假設大相逕庭。。如果響應者被分到的錢太少，他們經常會寧願甚麼也不要，也不要不公平地讓自己看起來愚蠢。