普朗歇爾定理

數學中, 普朗歇爾定理(有時稱為 Parseval-Plancherel 恆等式[1] )是調和分析的一個結果,它由米歇爾·普朗歇爾於1910年證明。它指出一個函數的模的平方的積分等於其頻譜的模平方的積分。也就是說,如果 是實軸上的函數,且有頻譜 ,那麼

更精確的表述是,如果一個函數同時在 Lp 空間 中,那麼它的傅立葉變換也在 中,且傅立葉變換是關於 範數的等距映射。這意味著, 上的傅立葉變換可以唯一地擴張為一個 等距同構 ,後者有時稱為普朗歇爾變換。這個等距同構實際上是一個么正映射。實際上,這使得平方可積函數的傅立葉變換成為可能。

普朗歇爾定理在 n歐幾里德空間 上仍然有效 。更一般地,該定理對局部緊阿貝爾群也成立。對於滿足某些技術上的假定的非交換局部緊群,還有另一個版本的普朗歇爾定理。這是非交換調和分析的主題。

傅立葉變換的么正性在科學和工程領域通常被稱為帕塞瓦爾定理,該定理基於一個用於證明傅立葉級數么正性的早期結果(但不那麼具有一般性)。

藉助極化恆等式,我們還可以將普朗歇爾定理用於計算 中兩個函數的內積。也就是說,設 是兩個 中的函數,而 表示普朗歇爾變換,則 還是 函數,那麼還有於是有

參考文獻

  1. ^ Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert. Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics . Wiley. 1997: 11. ISBN 0-471-18433-0. 

外部連結