在數學中, 普朗歇爾定理(有時稱為 Parseval-Plancherel 恆等式[1] )是調和分析的一個結果,它由米歇爾·普朗歇爾於1910年證明。它指出一個函數的模的平方的積分等於其頻譜的模平方的積分。也就是說,如果
是實軸上的函數,且有頻譜
,那麼
更精確的表述是,如果一個函數同時在 Lp 空間
和
中,那麼它的傅立葉變換也在
中,且傅立葉變換是關於
範數的等距映射。這意味著,
上的傅立葉變換可以唯一地擴張為一個
的等距同構 ,後者有時稱為普朗歇爾變換。這個等距同構實際上是一個么正映射。實際上,這使得平方可積函數的傅立葉變換成為可能。
普朗歇爾定理在 n 維歐幾里德空間
上仍然有效 。更一般地,該定理對局部緊阿貝爾群也成立。對於滿足某些技術上的假定的非交換局部緊群,還有另一個版本的普朗歇爾定理。這是非交換調和分析的主題。
傅立葉變換的么正性在科學和工程領域通常被稱為帕塞瓦爾定理,該定理基於一個用於證明傅立葉級數么正性的早期結果(但不那麼具有一般性)。
藉助極化恆等式,我們還可以將普朗歇爾定理用於計算
中兩個函數的內積。也就是說,設
和
是兩個
中的函數,而
表示普朗歇爾變換,則
若
和
還是
函數,那麼還有
和
於是有
參考文獻
- ^ Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert. Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics . Wiley. 1997: 11. ISBN 0-471-18433-0.
- Plancherel, Michel, Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1910, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877 .
- Dixmier, J., Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier Villars, 1969 .
- Yosida, K., Functional Analysis, Springer Verlag, 1968 .
外部連結