斜率

在數學上，直線的斜率（slope）或稱梯度（gradient），是描述與度量該線「方向」和「陡度」的數字，常用 $m$ 表示；斜率也用來計算斜坡的「斜度」（傾斜程度）。透過代數和幾何能計算出直線的斜率。

斜率：$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )$，$\theta$是傾角

一直線的斜率在其上任一點皆相等；一曲線的斜率在其上任一點則不定，由該點切線的斜率而決定。曲線上某點的切線斜率，反映此曲線的變數在此點的變化快慢程度。透過微積分可計算出曲線中任一點的切線斜率，直線斜率的概念等同土木工程和地理的坡度。

另一個相關概念是傾角（angle of inclination）或斜角，即直線與水平軸（$x$ 軸）所夾的最小角，以 $\theta$ 表示，$-90^{\circ }<\theta \leq 90^{\circ }$。傾角 $\theta$ 的正切函數值為直線的斜率，即 $m=\tan(\theta )$；而 $\theta =\arctan(m)$，$\arctan$ 是反正切函數。

定義

• 對於直角坐標系，一次函數：$y=kx+b$，若 $k$、$b$ 均不為0，則可說 $k$ 是斜率，$b$ 是截距。

• 若橫軸為 $x$ 軸，縱軸是 $y$ 軸，斜率 $m$ 可表示為：

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$　($\Delta$：變數的改變)

• 若已知道直角坐標系內兩點 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$，則斜率 $m$ 可表示為：

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

• 垂直線的斜率是未定義的，因為此時 $\Delta x=0$（即 分母為 0）。

運算

點斜式

如已知點$\left(x_{0},y_{0}\right)$斜率為$m$的直線方程式時，即可使用此方法。

$y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right)$

截距式

若已知某直線在$x$軸、$y$軸上的截距分別為$a$, $b$，則該直線的方程式可以表示為：

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1$

兩點式

如已知$\left(x_{1},y_{1}\right)$、$\left(x_{2},y_{2}\right)$相異兩點$x_{1}$≠$x_{2}$，$y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\left(x-x_{1}\right)$

②若$x_{1}=x_{2}$，$x=x_{1}$

原理：兩個相似的直角三角形

斜截式

如已知斜率$m$ ，$y$截距為$b$，則直線的方程式是

$y=mx+b.$

若$x$截距為$a$，則是 $y=m(x-a).$

參見

• 直線
• 角度
• 截距
• 方程式
• 方程組