擬牛頓法

擬牛頓法是一種以牛頓法為基礎設計的，求解非線性方程組或連續的最優化問題函數的零點或極大、極小值的算法。當牛頓法中所要求計算的雅可比矩陣或Hessian矩陣難以甚至無法計算時，擬牛頓法便可派上用場。

搜索極值

與牛頓法相同, 擬牛頓法是用一個二次函數以近似目標函數$f(x)$. $f(x)$的二階泰勒展開是

$f(x_{k}+\Delta x)\approx f(x_{k})+\nabla f(x_{k})^{T}\Delta x+{\frac {1}{2}}\Delta x^{T}B\Delta x.$

其中, $\nabla f$表示$f(x)$的梯度, $B$表示Hessian矩陣$\mathbf {H} [f(x)]$的近似. 梯度$\nabla f$可進一步近似為下列形式

$\nabla f(x_{k}+\Delta x)\approx \nabla f(x_{k})+B\Delta x.$

令上式等於$0$, 計算出Newton步長$\Delta x$,

$\Delta x=-B^{-1}\nabla f(x_{k}).$

然後構造$\mathbf {H} [f(x)]$的近似$B$滿足

$\nabla f(x_{k}+\Delta x)=\nabla f(x_{k})+B\Delta x.$

上式稱作割線方程組. 但當$f(x)$是定義在多維空間上的函數時, 從該式計算$B$將成為一個不定問題 (未知數個數比方程式個數多). 此時, 構造$B$, 根據Newton步長更新當前解的處理需要回歸到求解割線方程. 幾乎不同的擬牛頓法就有不同的選擇割線方程的方法. 而大多數的方法都假定$B$具有對稱性 (即滿足$B=B^{\text{T}}$). 另外, 下表所示的方法可用於求解$B_{k+1}$; 在此, $B_{k+1}$於某些範數與$B_{k}$盡量接近. 即對於某些正定矩陣$V$, 以以下方式更新$B$:

$B_{k+1}=\arg \min _{B}\|B-B_{k}\|_{V}.$

近似Hessian矩陣一般以單位矩陣等作為初期值. 最優化問題的解$x_{k}$由根據近似所得的$B_{k}$計算出的Newton步長更新得出.

以下為該算法的總結:

• $\Delta x_{k}=-\alpha B_{k}^{-1}\nabla f(x_{k})$
• $x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}$
• 計算新一個疊代點下的梯度$\nabla f(x_{k+1})$
• 令$y_{k}=\nabla f(x_{k+1})-\nabla f(x_{k})$
• 利用$y_{k}$, 直接近似Hessian矩陣的逆矩陣$B_{k+1}^{-1}$. 近似的方法如下表:

Method	$\displaystyle B_{k+1}=$	$H_{k+1}=B_{k+1}^{-1}=$
DFP法	$\left(I-{\frac {y_{k}\,\Delta x_{k}^{T}}{y_{k}^{T}\,\Delta x_{k}}}\right)B_{k}\left(I-{\frac {\Delta x_{k}y_{k}^{T}}{y_{k}^{T}\,\Delta x_{k}}}\right)+{\frac {y_{k}y_{k}^{T}}{y_{k}^{T}\,\Delta x_{k}}}$	$H_{k}+{\frac {\Delta x_{k}\Delta x_{k}^{T}}{y_{k}^{T}\,\Delta x_{k}}}-{\frac {H_{k}y_{k}y_{k}^{T}H_{k}^{T}}{y_{k}^{T}H_{k}y_{k}}}$
BFGS法	$B_{k}+{\frac {y_{k}y_{k}^{T}}{y_{k}^{T}\Delta x_{k}}}-{\frac {B_{k}\Delta x_{k}(B_{k}\Delta x_{k})^{T}}{\Delta x_{k}^{T}B_{k}\,\Delta x_{k}}}$	$\left(I-{\frac {y_{k}\Delta x_{k}^{T}}{y_{k}^{T}\Delta x_{k}}}\right)^{T}H_{k}\left(I-{\frac {y_{k}\Delta x_{k}^{T}}{y_{k}^{T}\Delta x_{k}}}\right)+{\frac {\Delta x_{k}\Delta x_{k}^{T}}{y_{k}^{T}\,\Delta x_{k}}}$
Broyden法	$B_{k}+{\frac {y_{k}-B_{k}\Delta x_{k}}{\Delta x_{k}^{T}\,\Delta x_{k}}}\,\Delta x_{k}^{T}$	$H_{k}+{\frac {(\Delta x_{k}-H_{k}y_{k})\Delta x_{k}^{T}H_{k}}{\Delta x_{k}^{T}H_{k}\,y_{k}}}$
Broyden族	$(1-\varphi _{k})B_{k+1}^{BFGS}+\varphi _{k}B_{k+1}^{DFP},\qquad \varphi \in [0,1]$
SR1法	$B_{k}+{\frac {(y_{k}-B_{k}\,\Delta x_{k})(y_{k}-B_{k}\,\Delta x_{k})^{T}}{(y_{k}-B_{k}\,\Delta x_{k})^{T}\,\Delta x_{k}}}$	$H_{k}+{\frac {(\Delta x_{k}-H_{k}y_{k})(\Delta x_{k}-H_{k}y_{k})^{T}}{(\Delta x_{k}-H_{k}y_{k})^{T}y_{k}}}$

與逆矩陣的關聯

若$f$是一個凸二次函數，且Hessian矩陣$B$正定，總是希望由擬牛頓法生成的矩陣$H_{k}$收斂於Hessian矩陣的逆$H=B^{-1}$。這是基於疊代值更新最小 (least-change update) 的擬牛頓法系列的一個實例。

實現

擬牛頓法是現在普遍使用的一種最優化算法, 存在多種程式語言的實現方法。

參見

• 牛頓法
• 應用於最優化的牛頓法