指數積分

數學中,指數積分函數的一種,它不能表示為初等函數

E1函數(頂)和Ei函數(底)。

定義

對於實數x,指數積分Ei(x)可以定義為:

 

其中 指數函數。以上的定義可以用於正數x,但這個積分必須用柯西主值的概念來理解。

對於自變數是複數的情形,這個定義就變得模稜兩可了[1]。為了避免歧義,我們使用以下的記法:

 

當自變數的實數部分為正時,可以轉換為:

 

Ei與E1有以下關係:

 
 


性質

收斂級數

指數積分可以用以下的收斂級數來表示:

 
 

其中 歐拉-馬歇羅尼常數。這個級數在自變數為任何複數時都是收斂的,但Ei的定義則需要 

漸近(發散)級數

 
截斷和中取 項時,漸近展開式的相對誤差

自變數的值較大時,用以上的收斂級數來計算指數積分是困難的。在這種情況下,我們可以使用發散(或漸近)級數:

 

這個截斷和可以用來計算 時函數的值。級數中的項數越多,自變數的實數部分就應該越大。

圖中描述了以上估計的相對誤差。

指數和對數的表現

 

 在自變數較大時的表現類似指數函數,自變數較小時類似對數函數。 是位於以下兩個函數之間的:

 

這個不等式的左端在圖中用藍色曲線來表示,中間的黑色曲線是 ,不等式的右端用紅色曲線來表示。

與其它函數的關係

指數積分與對數積分li(x)有密切的關係:

li(x) = Ei (ln (x))    對於所有正實數x ≠ 1。

另外一個有密切關係的函數,具有不同的積分限:

 

這個函數可以視為把指數積分延伸到負數:

 

我們可以把兩個函數都用整函數來表示:

 

利用這個函數,我們可以用對數來定義:

 

以及

 

指數積分還可以推廣為:

 

它是不完全伽瑪函數的一個特例:

 

這個推廣的形式有時成為Misra函數 ,定義為:

 

函數  的導數有以下簡單的關係:

 

然而,這裡假設了 是整數;複數 的推廣還沒有在文獻中報導,雖然這種推廣是有可能的。在 y=2x的圖形中,其導函數在任意x值所對應的y值為原函數的0.693倍。

複數變數指數積分

 
  versus  , real part(black) and imaginary part (red).

從以下的表示法中

 

可以看出指數積分與正弦積分(Si)和餘弦積分(Ci)之間的關係:

 

圖中的黑色和紅色曲線分別描述了 的實數和虛數部分。

參考文獻

  1. ^ Abramovitz, Milton; Irene Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Abramowitz and Stegun. New York: Dover. 1964 [2008-08-27]. ISBN 0-486-61272-4. (原始內容存檔於2010-10-11). 
  • R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
  • S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover

外部連結