克卜勒三角

克卜勒三角形是特殊的直角三角形，它的三邊之比等於$1:{\sqrt {\phi }}:\phi$，其中$\phi$是黃金比，$\phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$.德國數學家及天文學家克卜勒最早提出三邊滿足此比例的三角形。這種三角形將黃金比的性質與畢氏定理巧妙地結合在了一起.

克卜勒三角形

與代數的關係

給定兩個正實數a、b，若他們的算術平均數、幾何平均數、調和平均數能夠構成一個直角三角形，那麼這個直角三角形一定是克卜勒三角形。

作克卜勒三角形

克卜勒三角形可通過尺規作圖法作出。方法是先作出黃金矩形。

通過黃金矩形，用尺規作圖作克卜勒三角

1. 用尺規作圖法作一個正方形
2. 作出其中一邊的中點
3. 連接這一中點與與之相對的正方形的頂點
4. 以這一中點為圓心，已作出的線段的長為半徑作弧。並作出長方形的長邊。
5. 補全作出的黃金矩形
6. 以黃金矩形的一個頂點為圓心，一條長邊的長為半徑作弧交另一長邊於一點，連接該點與頂點，即作出了克卜勒三角形。

數學巧合

正方形和圓的周長近似相等

若繪製一個三邊為$a,a{\sqrt {\varphi }},a\varphi ,$的克卜勒三角形，並且考慮

• 其外接圓
• 邊長等於$a{\sqrt {\varphi }}$（三角形中數值介於中間的邊長）的正方形

則正方形的周長（$4a{\sqrt {\varphi }}$）和圓的周長（$a\pi \varphi$）相當接近，誤差小於0.1%。

這是因為$\pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}$的數學巧合，上述的圓和正方形其周長不可能相同，若是相同，就可以求解化圓為方的不可能問題了。換句話說$\pi \neq 4/{\sqrt {\varphi }}$，因為$\pi$是超越數。

一些資料指出，埃及金字塔設計時有用到克卜勒三角。不過古埃及人可能不知道有關$\pi$和黃金比例$\varphi$之間的數學巧合。

參見

• 黃金菱形
• 黃金三角形