平均自由徑

氣體分子平均自由徑(英語:mean free path)指氣體分子兩次碰撞之間經過的路程的統計平均值,[1]一般用表示。例如,在20下、標準大氣壓(101 KPa)下,氮氣分子的平均自由徑約為60納米

理想氣體分子運動示意圖

理想氣體分子兩次碰撞之間做勻速直線運動,類似分子的平均碰撞頻率,每兩次碰撞之間的路程是由氣體分子的自身狀態決定的。氣體分子的平均自由徑與分子的直徑或半徑、分子數密度成反比。

歷史

魯道夫·克勞修斯早在1857年就引入了平均自由徑的概念。後來詹姆斯·馬克士威在1859年推導出馬克士威速度分布律後,推導出了氣體分子平均自由徑的更為準確的計算公式。[2]

推導

分子碰撞截面

分子之間發生碰撞,但大多數情況並非發生對心碰撞。兩個碰撞的分子根據兩者發生碰撞瞬間「對心」的情況,所產生的方向偏離不同。當入射分子的方向和目標分子的質心的垂直距離大於某一確定值時,就不再發生速度偏離。這時的「某一確定值」稱為分子有效直徑 。定義分子碰撞截面 ,即在這個圓形截面之外的範圍射入的分子都不會發生速度方向偏離。關於這個截面,有以下方程式:

 

氣體分子間的平均碰撞率

單位時間內氣體分子發生的碰撞次數稱為平均碰撞頻率,一般用 表示,實驗結果表示,有以下方程式:

 

其中, 是氣體分子的分子數密度, 是碰撞的相對速率。

由於入射分子和目標分子都在移動,不能夠只考慮入射分子的移動速率,必需考慮入射分子對於目標分子的相對速率。如果是同種氣體分子,則平均相對速率為

 

其中, 是氣體分子平均速率。

氣體分子的平均自由徑的推導

設分子平均速率為 ,則它在 時間內走過的平均路程為 ;另外,在這段時間內分子發生的平均碰撞次數為 ,故由:

 

當為同種氣體分子時,得到

 

應用理想氣體定律,可以得到

 

其中, 波茲曼常量 溫度 壓力

自由程的分布

 
平均自由徑分布示意圖

自由程從 到無窮大的分子占分子總數的比例為:

 

自由程在  範圍內的分子占分子總數的比例為:

 

以上兩式中, 是碰撞分子總數, 是平均自由徑。

相關條目

參考文獻

  1. ^ Brünglinghaus, Marion. Mean free path. European Nuclear Society. [2011-11-08]. (原始內容存檔於2011-11-05). 
  2. ^ 秦允豪. 《热学》. 高等教育出版社. : 134頁. ISBN 978-7-04-013790-3. 

延伸閱讀