平均數不等式

平均數不等式,或稱平均值不等式均值不等式,是數學上的一組不等式,也是算術-幾何平均值不等式的推廣。它是說:


其中:

若且唯若 ,等號成立。

即對這些正實數:調和平均數幾何平均數算術平均數平方平均數(方均根)

簡記為:「調幾算方

時的情形

  • 第一個不等號
   
   
   
   
   
  • 第二個不等號
   
   
   
   
  • 第三個不等號
   
   
   

證明方法

關於均值不等式的證明方法有很多,數學歸納法(第一數學歸納法或反向歸納法)、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以證明均值不等式,在這裡簡要介紹數學歸納法證明n維形式的均值不等式的方法:

用數學歸納法證明,需要一個輔助結論。

引理:設  ,則 ,且僅當 時取等號。

引理的正確性較明顯,條件  可以弱化為  ,可以用數學歸納法證明。

原題等價於: ,若且唯若 時取等號。

 時易證;

假設當 時命題成立,即 ,若且唯若 時取等號。

那麼當 時,不妨設   中最大者,則 

  ,根據引理

 ,若且唯若  時,即 時取等號。

此外,人教版高中數學教科書《選修4-5 不等式選講》也介紹了一個運用數學歸納法的證明方法[1]

先運用數學歸納法證明一個引理:若  是正整數)個正數 的乘積 ,則它們的和 ,若且唯若 時等號成立。

此引理證明如下:

 時命題為:若 ,則 ,若且唯若 時等號成立。命題顯然成立。

假設當 時命題成立,則現在證明當 時命題也成立。

若這 個數全部是1,即 ,則命題顯然成立。

若這 個數不全是1,則易證明必存在 使 。不妨設 。由歸納假設,因為 ,所以 ,記此式為①式。由 ,知 ,則 ,整理得 ,記此式為②式。①+②得 ,整理得 (此時等號不成立),命題成立。

綜上,由數學歸納法,引理成立。

現在為了證明平均值不等式,考慮 個正數 ,它們的積為1,由引理,它們的和 ,若且唯若  時等號成立。

整理即得: ,若且唯若 時等號成立。於是 得證。

利用 ,易證 。考慮 個正數 ,有 ,若且唯若  時等號成立。兩邊取倒數整理得 ,若且唯若 時等號成立,即 

 等價於 。事實上, 等於 方差,通過這個轉化可以證出 ,證明如下。

 

 

 

 

若且唯若 時等號成立。

利用琴生不等式法也可以很簡單地證明均值不等式,同時還有柯西歸納法等方法。

參見

  1. ^ 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-5 不等式选讲. 人民教育出版社. 2007: 52. ISBN 978-7-107-18675-2.